小學階段數學符號意識研究綜述

須勤

摘 要：發展學生的數學符號意識是《義務教育課程標準》（2011版）提出的數學課程目標之一。圍繞數學符號意識這一主題，國內外很多學者在其內涵理解、關于其在教與學的過程中存在的問題以及培養策略等方面已經進行了探索，并取得了不少研究成果。筆者對此進行梳理、分析與總結，并提出了進一步的思考。

關鍵詞：數學思考；符號意識；內涵理解；培養策略

一、研究背景

“符號”一詞起源于希臘，英文譯名為“symbol”。著名數學家羅素【英】說：“數學就是符號加邏輯。”數學符號是一種特定的、精煉的、專用的數學語言，是數學抽象思維的產物，又是人們在解決數學問題時進行表示、推理、計算的工具，數學思維活動以此為載體。狹義上的數學符號，以人們約定俗成的方式存在，如規定加法用“+”表示，減法用“-”表示。廣義上的數學符號，是指表示數量之間的規律及其關系的所有符號，可以用來描述數學對象，如數學用語、公式、圖表、數字等。經歷了數千年歷史的積淀與完善，數學符號展現著獨特的魅力，成為通用的科學語言。它不同于漢語、英語、德語等一般的語言，它突破文化和地域的界限，成為一種國際化的規范語言。它是人類智慧的產物，促進數學的發展與進步。

學生對數學符號的把握對其數學的學習有著直接的影響。自從2001年《義務教育數學課程標準》（實驗稿）中將“符號感”作為核心概念提出以來，對于數學“符號感”的研究就成為一個比較活躍的領域。在之后的新一輪課程改革中，數學符號受到了人們前所未有的關注。在《義務教育數學課程標準》（2011版）中，“符號感”一詞更名為“符號意識”。因此，發展學生的符號意識成為我國義務教育階段數學教學的重要任務。孩子自從學習算術開始，就與符號有了接觸，上了小學之后，對數學符號的接觸就更多。數學教學的目的之一就是要讓學生知道并理解數學符號的意義，能運用數學符號解決一些數學問題和實際問題，發展學生的符號意識。事實上，一些發達國家及地區很早就認識到符號意識對于學生數學學習的重要性，如《美國學校數學教育的原則和標準》明確提出了發展學生符號意識的要求。還有我國的特別行政區——香港的數學課程標準也指出，要發展并培養學生的符號意識。鑒于此，國內外很多學者和一線教師在數學符號意識的內涵理解、對其在教與學方面存在的問題以及培養策略等方面做了一定的研究與探索。本文對關于數學符號意識已取得的研究成果進行了梳理、分析與總結，為后續研究做準備。

二、關于符號意識內涵理解的研究

對于符號意識，目前還沒有一個清晰、明確的定義。國外的很多學者從數學符號的特征和表現形式進行描述，更傾向于認為其是一種能力的體現。Fey（1990）對符號感的闡述比較系統，他認為符號感的表現形式多種多樣，它總是和數感、函數感和圖像感等相互聯系，但他認為符號意識也是一種能力。Kinzel認為符號感就是“在具體情境中，能創造出準確的代表數量關系的代數表達式，是符號解釋和符號操作的結合體，是一種能力”。Nurit Zehavi認為“在解決問題的過程中，符號感通常和數感、圖表感、函數感等聯系緊密并交織出現”，因此要給它下定義，非常困難。Abraham Arcavi 認為符號意識不僅是一種能力，也是一種思維活動，是對符號的一種直覺，一種理解以及運用。他試圖詳細具體地羅列符號感的表現特征，并對其進行分類，但仍然認為其完善度不夠。

在我國，“符號意識”是數學課標中的一個重要概念。早在2001年《全日制義務教育數學課程標準》（實驗稿）中，首次將“符號感”作為一個核心概念提出，認為符號感是“人對符號的意義、作用的理解以及主動地使用符號的一種習慣和意識”。之后學者們都是在此基礎上對其進行理解。如史炳星等對符號感的理解與其一致，他們強調學習數學符號重要的一步是用字母表示數，認為理解用字母表示數對于發展學生的數學符號意識是有幫助的。也有學者認為符號感就是一種對符號的直接感受和感悟。如王兄從表象圖式的角度來理解符號感，認為其是指對符號的感受和領悟能力。有些學者認為符號感的提法不夠恰當，對此存在爭議。何小亞在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）芻議》一文中認為是翻譯的誤差，主張符號感的提法值得商榷。鄭毓信的觀點與其一致，認為符號意識不是簡單地對符號的某種感覺、感悟能力達到的水平，更是一種心理活動和數學意識。這種符號意識與數感及數學模型聯系緊密，是對數學語言的一種綜合運用，不能簡單地歸結為對符號的直觀感覺，即符號感的問題。經過10年的課程改革，《義務教育數學課程標準》（2011版）在經驗總結中不斷反思，最終將“符號感”一詞改為“符號意識”。之后，關于符號意識的理解基本都以此為參照，與其表現一致，很少再有爭議。

縱觀以上國內外學者們對符號意識內涵的理解，他們都認為符號意識是一種自覺主動地理解和運用數學符號的態度和能力。他們對此各抒己見，但更傾向于是對數學符號的特征及表現形式的描述，而并非其真正內涵。因此，符號意識的真正內涵是什么，值得我們進一步地思考。

三、關于符號意識教與學的經驗性研究

這些年來，一線的數學教師、研究人員及學者，對數學符號意識的教與學進行了相關的調查研究與分析總結，同時借鑒吸收了一些教育學、心理學中關于知識獲得的認識，兩者結合，提升成為數學符號意識教學的依據，為學生“怎樣學”，教師“如何教”，提供了指導。但沒有說為何要這樣做，其本質是認識論的、經驗式的。這些在實踐中得到的規律，對數學符號意識的教學有著指導性的意義。

（一）關于學生對數學符號學習的研究

學生在數學符號學習的過程中，往往會出現各種類型的錯誤。國外的不少學者從認知、教學、解題等方面對其進行了深入研究。Davis提出了學生“二重返回”的錯誤規律，比如學生出現“3×3=6”的錯誤，是因為與最初的加法法則相混淆而導致的。然而，上述錯誤也可以認為是對于數學符號理解上的偏差所致的。乘法符號“×”和加法符號“+”在外表形式上類似，對學生的理解產生了干擾。事實上，學生所存在的一些問題都是源于某些“干擾”，有其他語言形式的干擾、其他學科表述的干擾以及學生生活經驗的干擾等。