小學生數學符號意識培養策略初探

江　強

（福州市臺江第一中心小學，福建福州350009）

?

小學生數學符號意識培養策略初探

江強

（福州市臺江第一中心小學，福建福州350009）

摘要：符號意識是數學課程的核心概念之一，發展學生的符號意識是數學學科的重要教學目標。理解符號的意義是培養學生符號意識的前提，應用符號解決問題是發展學生符號意識的最終目的，在符號應用的教學中，可以運用符號再現心智圖像、抽象數量關系、推進數學思考。

關鍵詞：符號意識；培養策略；小學數學

符號是具體事物抽象概括出的一種簡略的記號或代號。它廣泛應用于各學科中，但“符號之于數學學科卻是特有的，它是數學的語言，也是數學的工具，更是數學學習和研究的方法”［1］，幾乎每一次數學學科的發展都伴隨著“好的符號”的引進和創造。數字、字母、圖形、關系式等構成了數學的符號系統。［2］

一、符號意識的內涵

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：符號意識主要指能夠理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。對學生而言，符號意識是個體在感知、認識、運用數學符號上的一種主動反應，是一種積極的心理傾向。［3］

二、符號理解的教學

《義務教育數學課程標準（2011版）》解讀中指出，使學生理解符號的意義是數學學習中最基本的要求，也是符號意識的最基本要求。［4］從中我們可以看出，符號理解的教學是發展學生符號意識的首要環節。

（一）元素符號，講清發展的歷史

小學數學教材中的元素符號包括：數的表示、用字母表示的計量單位、用符號表示的圖形等，是小學生最初接觸的、也是接觸最多的一類符號。對于這類符號講清楚它們的歷史和現狀非常必要，一方面能激發學生學習新知的興趣；另一方面也能消除對新符號的陌生感，增強對符號的記憶，同時也能豐富數學學科的文化內涵。如教學阿拉伯數字時，可以告訴學生：早期的數字符號有巴比倫文字、中國數字、羅馬數字、印度數字，后來印度數字傳到了阿拉伯，再由阿拉伯商人帶到歐洲，歐洲人便稱它們為“阿拉伯數字”。由于阿拉伯數字比其他數字更簡捷，慢慢地就成為一種通用的數字。通過對符號歷史的交代，可以讓學生初步感悟到數學符號的發明、應用、統一是一個漫長的過程，并在這一過程中推動了數學的發展。更重要的是一個符號的歷史就是一個數學小故事，教學中這些故事性元素的加入，使得抽象的數學變得有趣，枯燥的數學得到更多人文精神的滋潤。

（二）運算符號，經歷創造的過程

教育不是告訴，在引進新符號的教學中讓學生經歷符號再創造的過程，能使學生獲得探究的內在動力；從而對符號理解得更透徹，掌握更快；還能使學生體會到數學知識的形成是一個“過程”。小學生接觸的運算符號只有“＋、－、×、÷”四個，但它貫穿于學生數學學習的始終。每個運算符號都包含豐富的現實意義，教學中教師應根據符號的意義和內涵創設情境，激發學生主動創造，幫助學生達到深層次的理解。

［案例］乘法的初步認識（二年級）

1．嘗試創造

師：如果小火車的每節車廂都坐2名小朋友，你們能用一個算式表示7節車廂共坐幾個小朋友嗎？

師：如果再加上23節車廂（課件演示），現在有幾節車廂？現在這列小火車一共坐了幾個小朋友？

學生嘗試列式。

師：這么長的算式寫起來確實比較麻煩，大家想創造一種方法快速表示“30個2相加”嗎？

學生獨立思考，嘗試創造。

2．有序展示

方法二：30+30

方法三：30個2相加方法四：30×2

3．符號統一

師：以上四種方法哪種最簡便、最便于交流？

師：你們以前見過這個“×”符號嗎？

4．挖掘內涵

師：創造方法二（30+30）的同學，你能說說你的想法嗎？

生：小火車左右兩邊鐵軌上面的座位上，各坐了30名小朋友，所以就寫成了30+30。

學生邊講教師邊結合課件進行配合。

師：橫著看是30個2，豎著看是2個30，所以2× 30=30×2。

在上面的案例中，學生創造乘法符號的過程中理解了“求幾個相同加數的和可以用乘法”“乘法是加法的簡便算”“乘法乘數的位置可以交換”，而針對乘法符號而言，這些都是最本質的。

（三）結合符號，體會符號的價值

小括號和中括號是小學生應用最多的結合符號。括號在運算時可以改變運算順序，在列式時可以體現部分與整體的關系。教學中教師應讓學生自覺產生對符號的需求，感受符號的價值。以二年級《小括號的妙用》為例，教師先出示購書情境：書店原有63本《寓言故事》，上午賣出21本，下午賣出11本，書店現在還剩幾本《寓言故事》？要求學生獨立思考后小組討論得出解決方法：（1）63－21＝42（本），42－11＝31（本）；（2）21＋11＝32（本），63－32＝31（本）；（3）63－21－11＝31（本）。教師引導學生把第（2）種方法列成綜合算式，這時學生列出：63－21＋11。教師追問：這里要先算誰？現在要先算加再算減怎么辦？你們能創造個符號表示先算的部分嗎？學生用自己的方式表示后，教師再介紹小括號的產生。

在這個案例中，教師先讓學生用不同的策略解決問題，而后引導嘗試列出綜合算式，這時學生遭遇到“形式”（體現綜合算式的樣式）與“意義”（保有分步列式的意義）的矛盾，產生強烈的引進新符號改變困境的欲望。教師不急于給出答案，而是讓學生自主創造，并通過介紹小括號的歷史讓學生體會統一符號的必要性。這樣讓學生在矛盾沖突、自主創造、文化滲透的過程中感受符號的奇妙，小括號的價值體現得十分到位。

符號的理解還應注重指導學生建構基于符號的知識結構，鼓勵學生用已有符號去解釋、同化新符號。以乘號（×）為例，從意義上講乘法是加數相同的加法的簡便算，那乘號（×）自然可以解釋為特殊的加號（＋）。再如，正號（+）負號（－），可以用加號（+）減號（－）加以同化，那么加減混合運算就可以理解為數字的排列與組合，這實際上也是對加、減法意義認識的提升。另外，對一些形式上非常接近的符號，教師要講透各自的意義，有針對性地引導學生對其進行辨析。例如：2x、x2、x/2，這三個符號形式上極為相似，都含有x和2，但相對位置的不同導致了意義的迥異。幫助學生抓住這些符號的細微差異，能提高學生感知的精細程度。

三、符號運用的教學

行為主義者普遍認為，通過練習可以建立刺激與反應間的聯結，當然這種練習應是建立在理解之上的。合理有效的應用練習，能使學生感悟到符號的價值，發現符號之于數學思考的幫助，并積累、提升符號使用的經驗。因此應用符號的教學是發展學生符號意識的重要方面。

（一）運用符號再現心智圖像

小學生的思維以形象思維為主，逐步向抽象過渡，且學生思維發展水平是不均衡的。在教學中，教師可以借助符號來解析思維過程。

［案例］搭配中的學問（三年級）

1.出示例題，嘗試搭配

有2件上衣和3件下裝，用1件上衣搭配1件下裝可以怎么搭，用小圖片搭一搭，并用自己喜歡的方式把搭配的過程記錄下來。

2.發現規律，有序搭配

師：大家仔細想想，為什么有的同學搭著搭著就亂了，怎樣從亂到有序呢？

學生嘗試有序搭配，并記錄搭配過程：

在上面的教學過程中，教師借助符號把原先動態內隱的思考過程用靜態外顯的方式展示出來。通過文字和符號逐步對比抽象概括，讓學生感覺到符號的簡捷性，同時體會有序的思考方法。從這個案例可以發現，數學符號即有形象思維的感性直觀，又初步具有抽象思維的理性成分，是連接形象思維和抽象思維的橋梁。

（二）運用符號抽象數量關系

數學符號的抽象性，使得某一符號一旦被賦予了數學意義，就能進行數學“運算”，“幾乎是自動化的，不需要每次都從頭做起。”［5］因此教師要結合具體情境，鼓勵學生抽象數量關系，積累應用符號解決問題的經驗。例如，三年級有這樣一道思維訓練題：1桶食用油和1箱食用油共重40kg，同樣的3桶食用油和1箱食用油共重56kg，1桶食用油和1箱食用油各重多少千克？這道題的數量關系對三年級的學生來說著實是難于理清的，但若引導學生用圖形符號來表示，就顯得直觀易懂。假設1桶食用油用“■”表示，1箱食用油用“★”表示，根據題意就能得到：①■＋★＝40kg②■＋■＋■＋★＝56kg，學生很容易看出就等號左邊相比，第②個等式比第①個等式多了2個■，而等號右邊多了（56－40）kg。那么，1個■就是16÷2＝8kg，★＝40－8＝32kg。這樣的圖形轉化使復雜的問題簡單化，學生更能從中體會到符號的價值。

用符號抽象數量關系時應注意選用恰當的表達方式。例如：小紅和小軍同時在環形跑道上相背而行，跑道周長400米，經過1分鐘兩人第1次相遇，已知小軍每秒速度是小紅的2倍少3米，求兩人每秒速度各是多少？如果設小紅速度為x米/秒，則小軍速度為（2x－3）米/秒，列方程為：60x＋60（2x－3）＝400。如果設小軍速度為x米/秒，則小紅速度為（x+3）/2米/秒，列方程為：60x＋60×（x+3）/2＝400。對比兩種未知數的設法，可以看出設小紅為未知數時，所列方程較為簡單，有利于結果的獲得。可見在運用符號的過程中，恰當地選取表達方式是極其重要的。

用符號抽象數量關系時應辨析同一符號的多重意義。如：S＝ab，即可以表示長方形面積公式，也可以表示平行四邊形面積公式，甚至可以表示總產量與數量、單產量之間的關系……對于這類數量關系除了引導學生根據符號所表示實質意義活學活用外，還應兼顧約定俗成的規范。

（三）運用符號積累數學經驗

積累數學經驗是學生提升數學素養的重要途徑。數學經驗是學生參與數學活動后所獲得的具有個性特征的經驗。數學符號貫穿于數學活動的全過程，積極利用符號思考有助于數學經驗的積累。符號思考以推理為主，在這期間學生既能獲得邏輯推理的經驗（舉例驗證），又能獲得合情推理的經驗（類比歸納）。比如，在乘法分配率的教學中，討論25×（4＋2）與25× 4＋25×2是否相等。學生通過情境、意義、得數三方面對比都得到相等的結果后，確定25×（4＋2）＝25×4＋25× 2，但這種相等是否具有一般性？這就需要引導學生舉例驗證，最后得出（a＋b）×c＝a×c＋b×c的字母表達式。這一過程中學生不僅積累了舉例驗證的經驗、類比歸納的經驗，情感體驗也得到了豐富。再如，讓學生記錄一個月的天氣情況，并能清楚地表示出來。在這一活動中學生經歷了數據的搜集、整理、分析、統計，以及結果呈現方式選擇的過程（數據的處理、結果的呈現實際上就是在進行符號思考），體驗了統計的思維方式，積累了統計的直接經驗。

數學活動的思維過程并不總是獨立存在，它總是伴隨一系列外在活動。比如，在思考過程中，根據題意繪制的線段圖、一些不嚴謹的猜測或推理、驗證想法的計算、借助實物的模擬等。這些活動恰恰能使學生積累珍貴的直接經驗，如動手操作的經驗、解決問題的策略性經驗、獨立思考的經驗等。

（四）運用符號推進數學思考

借助符號進行的數學思考，是多種數學思想的集中反映，是最具數學特色的思維方式，也是學生數學學習過程中最具價值的部分。它貫穿于數學活動的始終，“四基”的培養、數學素養的提升，不過都是使學生更好地進行數學思考。數學思考又是隱形的、自覺的過程，學生在進行數學思考時不會刻意覺得自己在從事數學思考；同時學生在數學思考時會自覺選擇自己感到熟悉的、好用的手段，數學符號的優越性使其自然成為學生進行數學思考的首選方法。比如，在解決“雞兔同籠”類問題時，如果學生沒有接受過此類問題的專項訓練，完全可以用列表法（低、中年級）、一元一次方程（高年級）來解決問題，而圖表、方程本身就是數學符號的范疇。

符號能把數學思考引向深入。例如，在探索多邊形內角和的教學中，學生通過剪拼的方法得到三角形的內角和是180°，四邊形的內角和是360°后，教師可以引導學生觀察圖形內角和與邊的關系，得到180° （n－2）。當然，這里得到的僅是假設。這個假設是否成立，學生可以通過切割組合的方法驗證。上述的教學過程中符號n的加入，使學生在思考時能擺脫思考對象的物性（即多邊形的具體形狀），而關注對象的本質（即多邊形的邊數）進行思考。無疑，這樣的思考是高效而深入的。

總之，學生數學符號意識的培養應根據學段要求與學生實際，逐層遞進，螺旋上升。教學中教師應緊扣概念、公式、命題的教學，注重理解基礎上的應用，在課堂上滲透，在“實戰”中培養。

參考文獻：

［1］陶月娟．“探索事物搭配的規律”教學談［J］．語數外學習（初中版·中旬），2013（2）．

［2］姜寧寧，李瑩．符號意識的內涵及培養策略［J］．基礎教育論壇，2013（28）．

［3］王曉峰．在數學實驗中發展學生的符號意識［J］．中國數學教育，2015（21）．

［4］教育部基礎教育課程教材專家工作委員會．全日制義務教育數學課程標準（2011年版）解讀［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

［5］迪多內.論數學的進展:數學史譯文集［M］．上海：上海科技出版社，1980．

中圖分類號：G424.1

文獻標識碼：A

文章編號：1673-9884（2016）03-0037-04

收稿日期：2015 - 12 - 08

基金項目：福州市教育科學研究“十二五”規劃2014年度一般課題（FZ2014GH059）

作者簡介：江強（1983-），男，福建福州人，福州市臺江第一中心小學一級教師。