線性代數課堂教學方法探討

馮瑩瑩 熊彥

【摘要】本文從線性代數課程的特征出發，研究了在保持課程內容體系不變的前提下，通過把握主線、引入幾何觀點、結合代數發展史三個方面，來改進傳統的線性代數課堂教學.結論表明，以上的改進不僅能減輕由于代數的抽象性帶來的學習困難，達到更好的教學效果，同時能在課堂中提高學生的數學能力及數學素質，培養學生的創造性思維能力.

【關鍵詞】線性代數；課堂教學；教學主線；幾何觀點；代數史

線性代數及微積分（常稱為高等數學）、概率論與數理統計是當今大學生三門必修數學課.由于中學數學教材改革和新課標的實施，微積分和概率論與數理統計課程中的部分知識點已經在學生的高中階段都有所接觸，而且這兩門課的大部分知識都有較為豐富的背景和應用范圍.相比而言，線性代數中的行列式、矩陣概念對學生是全新的，沒有在中學接觸過的，就現行的大量教材來看，線性代數在內容安排上，顯得邏輯性、抽象性有余，而背景性和應用性不足.加上線性代數一般都安排課時較少，所以使得學生對線性代數課程的學習更加吃力，達到的教學效果也不盡理想.本文探討在不改變線性代數課程內容體系的前提下，如何改進課堂教學方法，以達到更好的教學效果.

一、教學中必須把握兩條主線

如前所述，與其他兩門數學課程相比較，線性代數的教材編得更為抽象，更加遠離現實.學生通常會覺得概念、定義多，而且由于缺乏背景，一般會顯得零散，各種概念之間的聯系也較難把握.在課堂教學中，必須把握線性代數課程的兩條主線，才能把這些大量的概念連起來，形成一個整體.

1.第一條主線是線性方程組

求解線性方程組是線性代數課程的一個主要任務，將中學的消元法經過一次抽象，就是線性代數中矩陣的初等變換概念.根據各種方程組的特點，形成了線性代數課程中一系列概念和方法.當未知數個數與方程的個數相等的時候，行列式可以派上用場，于是引出了行列式的初等變換、求值、克萊姆法則等相關概念.對一般的線性方程組，我們用秩來描述“真正起作用的方程的個數”，方程組的有解無解，有唯一解還是無窮多解，自由未知量的個數，都可以用系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩來理解了.為了對無窮多解有更深入的認識，把方程組的解看成向量，對齊次線性方程組，就需要引入向量空間的概念，這樣就不難理解線性相關與線性無關、最大線性無關組這一連串的概念了.可見，抓住了線性方程組這條主線，就可以把行列式、矩陣、向量組這些概念合理地聯系起來了.

2.第二條主線是二次型的標準化

解析幾何中很重要的一個主題就是要把一些二次曲線方程化為只含有平方項的二次型，以便研究曲線的類型，這就是我們所謂的二次型化為標準二次型.利用矩陣這一工具來完成這個過程，需要從矩陣的特征值和特征向量出發，來討論實對稱矩陣的對角化問題.線性代數課程一般給出了三種化二次型為標準二次型的方法，著重討論的是用正交變換的方法.

在課堂上，抓住這樣兩條主線，不但可以避免概念的零碎，而且對學生掌握線性代數整個課程體系也是非常有幫助的.

二、在課堂上引入幾何的觀點來介紹代數知識

大部分線性代數教材都從知識結構的邏輯性來安排內容，使得代數知識以抽象的面孔出現在學生面前.事實上，在中學階段，學生學習初等代數時，是非常注重代數與幾何之間的結合的.數形結合不僅有利于降低學生的理解難度，也是掌握代數思想的一個必然要求.如何用幾何的觀點來學習代數，是一個在線性代數的課堂教學中值得思考的問題.

（5）的解即為方程組（2）的滿足整體誤差最小的近似解，這就是最小二乘法求最優近似解的結果.從上面的例子可以看出，直觀的幾何意義使得很多推算得到了簡化，更能讓學生加深對概念和方法的理解.

三、從代數發展歷史的角度來講線性代數課程

前面提到，大部分教材的編排由于注重嚴格系統化的形式推理，都不可避免地使線性代數抽象性特征明顯，我們在課堂教學中，不妨靈活處理知識的來龍去脈，站在從知識發展的歷史的角度來認識這門課程，這也是引起國外越來越多大學重視的一種教學方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大學數學教材，就是基于這一觀點來編寫的.2008年，普林斯頓大學出版社出版了《普林斯頓數學指南》（the Princeton Companion to Mathematics），這是一本數學綜合類的普及讀物，全書共有一千多頁，盡量用淺顯的語言，把現代數學知識的來龍去脈解釋清楚.在線性代數的課堂教學中，如果能借鑒這種從知識產生歷史角度來講授知識，不僅能讓學生理解知識之間的內在聯系，更為可貴的是，能把很多數學大家當時對這些數學問題的思考過程呈現在學生面前，對學生創造性思維的形成過程大有益處.

四、結 語

線性代數課程由于其自身的特征給教學帶來一定的難點，如何在不改變課程知識體系的前提下，達到較好的教學效果，讓學生能在抽象的代數學習中，接受知識，形成創造性思維方式，提高數學能力和素養，是每個大學數學教師面臨的一個重要課題.本文從教學實踐中，結合國內外相關的數學教育理論，提出了幾條相應的措施.要提高教學質量，需要長時間在實踐不斷去完善教學手段和教學方法，唯有高質量的課堂教學，才能保證線性代數課程較好的教學效果.

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