淺析數(shù)學(xué)思維之以粗獷的思想解決精細(xì)化問(wèn)題

劉明月?劉彥明

【摘 要】 文章簡(jiǎn)單地闡述了高等數(shù)學(xué)中一種重要的思維方式——以粗獷的思想解決精細(xì)化問(wèn)題。利用這種思想可以求不規(guī)則圖形的面積和不規(guī)則物體的體積等，而且這種思維方式可以推廣到自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域，并以在軍事領(lǐng)域的變換應(yīng)用列舉了實(shí)例，以佐證這種思想的神奇效果。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思維；粗獷的思想；精細(xì)化問(wèn)題；解決方法

如果我們把高中及以前階段所學(xué)的數(shù)學(xué)（代數(shù)運(yùn)算和平面幾何）稱之為初等數(shù)學(xué)，而把進(jìn)入大學(xué)及以后階段所學(xué)的數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)分析、空間解析幾何、線性代數(shù)等）稱之為高等數(shù)學(xué)的話，那么初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)在運(yùn)算技巧、應(yīng)用范疇和思維方式等方面都有著本質(zhì)的差異。初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué)，是研究靜態(tài)的數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)是研究變量的數(shù)學(xué)，是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。而且，初等數(shù)學(xué)注重的是嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)和精確的數(shù)據(jù)結(jié)果，而高等數(shù)學(xué)更注重的是解決問(wèn)題的思維方式和數(shù)據(jù)結(jié)果的實(shí)際應(yīng)用性，函數(shù)演算的結(jié)果首先考慮的是實(shí)用范圍，而不是以精確性和唯一性為標(biāo)準(zhǔn)，所以估值定理和高階無(wú)窮小舍去的應(yīng)用很普遍。所以，高等數(shù)學(xué)更注重的是思維方式的培養(yǎng)和思維模式的突破，本文將介紹一種高等數(shù)學(xué)中最為重要的思維方式之一：以粗獷的思想解決精細(xì)化問(wèn)題。

在推導(dǎo)一元函數(shù)定積分的概念求曲邊梯形的面積和推導(dǎo)二元函數(shù)定積分的概念求曲頂柱體的體積的過(guò)程中，我們都用到了這種思維方式。即當(dāng)整個(gè)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)困難時(shí)，便可“化整為零”，將整體目標(biāo)分割成n個(gè)小目標(biāo)，每個(gè)不規(guī)則的小目標(biāo)近似成規(guī)則的小目標(biāo)；然后把近似后的小目標(biāo)加起來(lái)，得到整體目標(biāo)的一個(gè)近似值；最后，無(wú)窮細(xì)化所分割的小目標(biāo)，當(dāng)“細(xì)”到一定程度的時(shí)候，如所分割的小曲邊梯形細(xì)成一條平面線段或所分割的小曲頂柱體細(xì)成一根立體線段時(shí)，那么，所近似的那部分誤差就可以忽略不計(jì)了，從而得到一個(gè)和式的極限。這就是高等數(shù)學(xué)中的定積分概念，三重或三重以上定積分的思維模式亦是如此。[1]這種思維方式可以推廣到自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域，如求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，求密度不均勻的平面薄板的質(zhì)量，求電荷密度不均勻的薄片上的電荷總量等等。[2]這種“化整為零、近似求和、無(wú)窮細(xì)化取極限”的思維模式就是本文所要闡述的“以粗獷的思想解決精細(xì)化問(wèn)題”的思維模式的一種——整個(gè)目標(biāo)要求是不斷變化、復(fù)雜曲折或精細(xì)化的，但分割以后的每一小部分卻可以“粗獷”地近似為規(guī)則的，只是“無(wú)窮細(xì)化”的結(jié)尾實(shí)在是妙啊！

本文所要闡述的思維模式只有以上一種嗎？當(dāng)然不是。微分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)亦是以粗獷的思想解決精細(xì)化的數(shù)據(jù)，即求解增量主部。在初等數(shù)學(xué)中求解增量，如求面積的增量 時(shí)，是用后來(lái)的面積減去原來(lái)的面積，這最終的結(jié)果可能在小數(shù)點(diǎn)后保留著多位于實(shí)際應(yīng)用沒(méi)什么關(guān)系的位數(shù)；而用微分去求解面積增量 時(shí)，最終得到的數(shù)據(jù)是舍掉了高階無(wú)窮小部分（或認(rèn)為是將此部分納入誤差范疇）的，這樣得到的數(shù)據(jù)更具有實(shí)用價(jià)值。人們?cè)趯?shí)地建設(shè)一片廣場(chǎng)時(shí)，最終的結(jié)果比精確圖紙多出了或者少了那么零點(diǎn)零零幾平方米的面積，那又有什么關(guān)系呢？誤差總是存在的，所以在最初的數(shù)據(jù)處理上，粗獷地“留主去次”，也是為后續(xù)的應(yīng)用提供了方便。

此外，在很早以前，當(dāng)人們?nèi)ビ?jì)算不規(guī)則形狀物體的表面積時(shí)，就有人想到了“打點(diǎn)法”，即把物體表面打滿“點(diǎn)”，若每個(gè)“點(diǎn)”的面積已知，只需弄清楚要覆蓋整個(gè)表面積到底需要多少個(gè)“點(diǎn)”即可。當(dāng)然這種“粗獷”的思想帶來(lái)了大量的程序操作和重復(fù)計(jì)算。但在別的精準(zhǔn)計(jì)算方法無(wú)法解決的情況下，這也不失為一種可以考慮的方法。而且，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，人工所要承擔(dān)的重復(fù)單調(diào)的工作可以越來(lái)越多地交給計(jì)算機(jī)，從而使這一類(lèi)的方法更加可行。

很多學(xué)科上的研究突破都是和軍事研究緊密聯(lián)系在一起的，科學(xué)家和軍人的組合在各個(gè)國(guó)家的發(fā)展史上都屢見(jiàn)不鮮。在軍事戰(zhàn)略上，這種高等數(shù)學(xué)上的思維方式更是變幻莫測(cè)、屢建奇功。在科學(xué)技術(shù)成為主導(dǎo)軍事力量以后，尤其是出現(xiàn)了核技術(shù)以后，大國(guó)的優(yōu)勢(shì)已不復(fù)存在，國(guó)與國(guó)之間的競(jìng)爭(zhēng)首先是科學(xué)技術(shù)的競(jìng)爭(zhēng)，而不再取決于人口數(shù)量和國(guó)土面積。某些國(guó)家憑借著自己強(qiáng)大的軍事力量向一些科技落后的國(guó)家發(fā)動(dòng)了侵略戰(zhàn)爭(zhēng)，如美國(guó)入侵了尹拉克。但當(dāng)美國(guó)入侵委內(nèi)瑞拉時(shí)，卻遭到了“粗獷式”抵抗，結(jié)束了西方強(qiáng)國(guó)對(duì)第三世界小國(guó)戰(zhàn)無(wú)不勝的勢(shì)頭。委內(nèi)瑞拉的做法是盡量利用廉價(jià)的“高科技”武器，比如大面積使用便宜的導(dǎo)彈，這類(lèi)導(dǎo)彈使用的部件都是市場(chǎng)上便宜的大陸貨，雖五臟俱全，具備測(cè)高雷達(dá)和全球定位功能，卻也難免命中目標(biāo)的精準(zhǔn)度不高。但美國(guó)用于制造一顆高精度現(xiàn)代化導(dǎo)彈的費(fèi)用可以組裝上千顆這類(lèi)的廉價(jià)導(dǎo)彈，即便在戰(zhàn)場(chǎng)上只有不到十分之一的廉價(jià)導(dǎo)彈會(huì)命中目標(biāo)，也會(huì)給敵軍造成巨大的殺傷。反倒是擁有造價(jià)昂貴的高科技武器的精良部隊(duì)，由于武器造價(jià)和數(shù)量的限制，不能發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)。還有其他的批量生產(chǎn)的高科技小玩意兒，如裝有近炸引信的狙擊步槍子彈等，也取得了同樣輝煌的戰(zhàn)績(jī)。[3]“數(shù)量”戰(zhàn)勝“精細(xì)化”，這思想是不是夠“粗獷”啊？只是某些被“精細(xì)化”思想洗腦了的人們，早已忘記了一些最原始、最有效的方式方法，如某些高精準(zhǔn)雷達(dá)監(jiān)測(cè)不到的東西是可以用肉眼看到的等，才使得這種粗獷的思想脫穎而出。時(shí)至今日，每當(dāng)我們回想起毛澤東在抗美援朝時(shí)期說(shuō)過(guò)的那句話——“你打你的原子彈，我扔我的手榴彈，勝利一定是屬于我們的。”[4]都無(wú)比佩服！在越來(lái)越精細(xì)化的今天，擁有粗獷的思想越是能出奇制勝。

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，而又應(yīng)用于生活，其自身的魅力終究在于其思維性，一個(gè)數(shù)學(xué)模型往往演繹著一種思維模式，這種模式千變?nèi)f化，在不同的領(lǐng)域演繹著不同的故事。但萬(wàn)變不離其宗，化繁為簡(jiǎn)，究其本質(zhì)，把所有的矛盾集于一點(diǎn)、全力攻破，才是最終的目的。粗獷的思想才是人類(lèi)智慧最原始的思想，當(dāng)我們看到歷史博物館里那些造型奇特、質(zhì)地粗糙的史前猿人所制造的簡(jiǎn)易陶罐時(shí)，會(huì)不會(huì)覺(jué)得很熟悉、很溫暖呢？似乎那種粗獷的美不能用任何繁復(fù)的花紋所代替，那才是生命本真的樣子。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 吳贛昌.微積分（上）[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.1.

[2] 郭運(yùn)瑞.高等數(shù)學(xué)[M].西安交通大學(xué)出版社，2010.12.

[3] 錢(qián)振勤.軍事軟實(shí)力向戰(zhàn)斗力生成的內(nèi)在機(jī)理研究——基于學(xué)習(xí)馬克思主義軍事指導(dǎo)理論最新成果的思考[D].南京師范大學(xué)，2012.

[4] 申前進(jìn).毛澤東軍事思想對(duì)現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的啟示[D].山東大學(xué)，2007.