關于解決電動力學教學中的數學問題的探索與改革

柳國麗 薛新蓮

摘 要：針對學生反應的電動力學中的數學困難問題做了以下改革。首先，由物理專職教師有側重性地集中講解數學問題；疏清知識點，穿插在習題講解中；最后利用一些類比來理解數學中抽象的概念。

關鍵詞：電動力學；數學；教學改革

中圖分類號：G642文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）07-0103-02

一、目前現狀及存在問題

電動力學是大學物理類本科生的必修課程之一，是學生進行基礎物理學理論知識訓練的核心課程，也是進一步學習更高等的基礎課和各類專業課必不可少的準備專業課程。它包括宏觀經典電磁場理論和狹義相對論的理論，這都是需要學生熟練掌握的內容。大學生對于該課程的學習是本科生教育中至關重要的一環。但是目前理工科本科學生普遍感到電動力學難學。其中一個重要原因就在于：學生往往不能快速有效地掌握并熟練應用電磁場理論所依賴的數學基礎——微積分方程。因為要想很好地駕馭電動力學中微積分計算，不僅要有較好的物理思想，而且要有好的數學基礎。這樣，初學者常常從一開始就感到電動力學課程枯燥無味、難以上手；上課聽講似懂非懂、云里霧里，下課做題更無從下手。

數學方面的困難主要表現在以下幾個方面：首先，學生的數學基礎差。這主要是兩方面原因造成的。其一，很多大學中物理專業的數學課程大多是由數學專業的老師講授的，數學專業老師在物理專業知識方面的欠缺往往不能講解數學方程所包含的物理內涵，這使得數學的講解不能偏向物理專業的課程需要。其二，很多知識點講解比較空乏，比較靠后的、在課程最后提到的某些知識，老師講解的時候往往一帶而過甚至不講理，學生必然似懂非懂，這就欠了很多帳，而這往往恰恰是我們物理中所要用到的。比如著名的斯托克斯定理，大多數學生都不能深入理解并熟練運用，不能理解它在物理領域中的重要內涵和應用。因此，還需要在電動力學的教學中補足這些相關知識的教授并輔以必要的練習。

其次，數學的知識點較多，而且引入了比較抽象的概念，這造成學生普遍不能熟悉這些知識點。即使勉強記住也不能領會其意義，更不用說應用了。電動力學中常常用到的數學知識點如梯度，散度，旋度，點積，矢積，并積，各種正交坐標系，張量等等，學生往往學了后面忘了前面的，更不用說熟練地進行相關應用和推導。

最后，不能將抽象的數學與它的物理意義聯系起來。學生往往對物理概念不清楚。比如，散度和旋度是學習電動力學首先接觸到的兩個概念，他們的數學與物理之間的對應是眾多學生深感困惑和頭疼的難題。于是他們就在學習最初就對這門課程產生畏難情緒，一直到最后。甚至有學生學完后問我：“老師，電動力學里面為什么有那么多的數學？”

二、針對這幾個問題的對策

因為數學如此重要，以至于它決定了我們是否能夠進入這門課程的學習，所以我們決定不要怕在數學上費時間，而專門多花些時間在數學方面，抓住學習電動力學的敲門磚。

針對以上這幾方面的問題，我們有的放矢，做出了以下幾個方面的舉措，取得了一定的成績。秉承適合學生的就是最好的教學方法、教無定法的原則，我們在教學中摸索以下關于數學方面的對策。

1.先不惜余力地強調數學對于物理學習的重要性并集中補充數學知識，精心挑選典型例題，結合例題講解某個或某幾個數學定理的運用

我們在課程伊始，就隆重告訴學生物理的精髓的載體就是數學公式，物理之美的體現也往往是用簡潔漂亮的數學公式來表達。因此我們學習的第一步是要掌握好數學工具，具有從數學公式中鑒賞物理之美的能力，我們才能在萬物之理的海洋里暢游無阻。引導學生以輕松愉快的心情帶著物理思想去學習數學，才有可能在以后明白數學式子所包含的物理意義。這是學好數學的第一步，重在防止學生心理的不重視而造成態度上的不認真，從而浪費掉入門的恰當時機。

集中講解，讓學生對我們將要用到的數學有直觀感受；仔細選擇例題，使得例題涵蓋比較難的數學式子的應用，使學生能力在處理具體問題的過程得到提高。我們還把教師講解與學生積極參與有機地結合起來，引導學生在對各種公式的學習和領會，并體會它的物理意義，從而產生鉆研本課程內容的興趣。通過我們的嘗試，取得了一定的效果。

2.我們將盡可能地把數學公式與物理真實對應起來

由于數學專業的老師講課往往不能側重于物理知識點的學習，那么我們在課程前二到三次時間里集中將式子引入物理真實，將物理中用到的數學式子單獨摘出來，重點講解，并且重點偏向于應用。至于證明，給學生指定權威的參考文獻，以供學有余力的學生查閱。

3.針對物理中用到的知識點，重點講解；并布置習題，讓學生分組完成

一般教師會在第一次講解后留一些比較難而且典型的習題，讓學生分組完成。這種看似浪費時間的行為將在以后整個課程學習和教學中大大受益。

現在物理專業的課程學時一般都很緊張，需要老師不停地講解，往往抽不出時間來做其他課外的師生交流。但是恰恰是四大力學之一的電動力學，即使課時緊張，也要抽出時間來解決數學問題。

分組就是其中一個解決辦法。分組的好處在于：學生的程度不同，著眼點不同，分組討論時，可以相互碰撞出火花；另外，也有利于先進帶動、促進后進，無形中減輕了教師的壓力。

分組采取的形式一般為：（1）在第一次課結束后，學生找時間進行第一次討論。針對老師留下的難處理的問題給出初稿，然后老師參加第二次討論，針對學生的初稿指出不足。（2）搜集學生第一次討論后的認為的難點、容易混淆的點，讓學生每個組寫出自己的心得體會和解決方法。群策群力，學生一般會在這種解決問題中提高自己的認識，鍛煉了自己的能力。

經過這樣的分組討論和梳理思路，學生已經對學過的數學知識有了初步的應用能力。

4.借助于一些較不那么抽象的概念或者實物來理解抽象的數學公式和概念

散度和旋度是我們首先接觸并且貫穿始終的兩個物理量，一定要把它的意義吃透。在定義的基礎上，首先形象給學生說明：從一個點向外發射“射線”，穿過緊緊包圍著這個點的一個小球面，散度是那穿過小球面的射線的通量；而一個量繞著一個很小的圓環，而這個量的旋度就是垂直穿過這個小圓環的量，方向用右手判斷，四指沿圓環的給定方向，拇指豎起，就是該旋度方向。

如果學生還表示不理解，那么我們可以借助水流把上面說明中的散度和旋度具體化。設想水從一個源頭流出，不同大小、不同水流量的源頭在不同時間內流出的水體積不同，為了表征這種不同，引入了散度的概念。注意這里散度是點量，因為它的物理意義是在單位時間內單位體積內流水的體積。水流量是積分量，它的物理意義是就是單位時間內流出的水量。這樣流水量就可類比于通量。散度是有正負的，有水涌出的源就有正的散度，有水涌入的源散度就為負。

在這種水流情況下，可以根據水中的渦旋旋轉的快慢不同，我們引入水流的旋度來描述渦旋旋轉的快慢。無旋就是沒有漩渦源。

我們還可以想象：有一條河，如果河水不流走，也沒有其他水源、泉水加入，那么散度就是零。進多少，出多少。你撒一大把黑白相間的小球進入河流，如果小球都不旋轉，旋度就是零。轉得多，旋度大。

概括說來，我們可以通過流水來形象地理解散度和旋度：有水流出或流入的地方即為有散度；而旋度是因為有渦旋，有旋渦就有旋度。也就是說散度對應源來說，旋度對應旋而言。

總之，為了掃除數學這個障礙，我們需要在課程伊始就下大工夫，為我們以后學習、征服最終享受物理打好基礎，并使數學成為我們得心應手的工具。

三、結論

電動力學對于物理學專業的學生來說是非常重要的課程，是進一步進入很多科學研究領域的基礎課程，但在學習伊始，就有很多同學因為數學問題欠賬而對這門課的學習痛苦不堪。所以，我們針對電動力學中的數學問題進行了自己的探索和改革，讓學生能夠積極主動投入到這門課程的學習之中。同時由于學習的相通性，這種能力的提高必然在后續物理知識的學習上讓學生受益無窮。

（作者單位：鄭州大學物理工程學院）

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