學習情境：數(shù)學建構的重要基礎

紀榮

[摘 要] 高中數(shù)學教學中，情境不應當成為新知引入的點綴，而應當成為學生構建數(shù)學理解過程中的學習思維加工的對象. 學習情境應當給學生的數(shù)學構建提供形象性認識作用，數(shù)學構建的過程是在思維加工的形象對象與抽象對象之間轉換的過程，這個過程的轉換與轉化越順利，學生的數(shù)學學習就越順利.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；學習情境；數(shù)學建構；學習思維

建構主義學習理論是課程改革的重要支柱性理論之一，根據建構主義學習理論，學生的知識不是教師教出來的，而是學生自主構建出來的，在學生的學習過程中，知識的生成主要靠學生的自主構建，而教師只是在其中發(fā)揮一些輔助性的、指導性的、幫助性的作用. 真正從學生學習的角度看待這一過程，筆者感覺這一理論對課程改革以及對于實際的高中數(shù)學教學有著明確的指導意義. 眾所周知，高中學生的數(shù)學學習過程，就是一個數(shù)學建構的過程，即將形象的生活知識數(shù)學化為抽象的數(shù)學知識，或者在原有抽象知識的基礎上依據數(shù)學邏輯關系，建構更為復雜抽象的數(shù)學知識的過程.實際教學中的挑戰(zhàn)，在于如何讓學生的數(shù)學建構過程更為有效，研究表明，情境創(chuàng)設在其中起著非常重要的基礎性作用.

學習情境的創(chuàng)設，貴在為數(shù)學建構奠定基礎

學習情境的創(chuàng)設自課改以來就日益受到重視，但實際教學中存在著相對普遍的為情境而情境的情形，這樣的教學行為顯然是忽視了情境發(fā)揮作用機制的產物. 研究表明，情境創(chuàng)設的最大價值，就在于為學生的數(shù)學建構提供可能.

以“任意角的三角函數(shù)”（蘇教版高中數(shù)學必修4，第一章）的教學為例，教材中在建立任意角的三角函數(shù)的概念與定義的時候，是在復習初中階段利用直角三角形定義銳角三角函數(shù)的方式來進行的. 在此基礎上提出了問題：如何將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)？這樣的教學設計的好處在于能夠在學生原有知識的基礎上去構建新的認識，缺點在于如果學生對利用直角三角形定義銳角三角函數(shù)的知識不熟練，那就有可能此處再煮“夾生飯”. 那么，有沒有可能為絕大多數(shù)學生（面向全體的原則）創(chuàng)設一個利于他們進行數(shù)學構建的情境呢？對此，筆者進行了嘗試.

分析教材中的設計，可以發(fā)現(xiàn)其也可算一個情境，只不過這個情境由原有的知識來構成，缺少形象性，學生不容易在這個情境中真正調動思維. 相應的，本知識學習的情境化設計就可以走形象化之路，通過情境的促進作用，促使學生的思維積極主動起來，以讓學生有效地建構新學知識. 筆者的設計是這樣的：有一個摩天輪，其中心距離地面的高度為H，其半徑為r. 現(xiàn)讓其逆時針方向做勻速圓周運動，且轉動一周需要6分鐘的時間，如果你從與圓心同一水平面的A位置（位于圓心右邊）出發(fā)，那30秒后你所處的位置可以怎樣描述？

這是一個非常形象的問題，學生面臨的不再是一個抽象的數(shù)學圖形，而是一個具體的、有形的甚至是親身體驗過的過程，在這個過程中，學生思維加工的對象首先是這些具體的事物. 同時這個情境中學生思維的對象（摩天輪）又可以通過學生的思維轉換，變成數(shù)學上常常用來分析的圓，這就是人們常說的數(shù)學抽象，這個過程顯然是屬于思維過程的. 再具體一點，摩天輪上A點的運動，則可以轉換為A點在圓上的勻速圓周運動. 而確定30秒后A點的位置，也就可以轉換成確定A點在圓上的位置.只不過問題強調的是對后來A點位置的描述，這就需要學生在發(fā)散思維的過程中尋找到一個自己熟悉的描述方式.

有此基礎，后面的數(shù)學建構過程會十分順利.

數(shù)學建構的過程，需要與學習情境前后呼應

學習情境不能只成為知識引入時的配角，而應當成為學生構建數(shù)學知識過程中的主角. 事實證明，只有學習情境滿足了這種知識引入與知識建構時的呼應關系，高中數(shù)學教學才能更有效地進行.

事實上在上面“任意角的三角函數(shù)”知識構建中，學習情境就發(fā)揮了這樣的作用. 具體地說，任意角三角函數(shù)的最終指向是正弦、余弦、正切的定義，關鍵的則是定義中的比值的確定，為什么是、、，而不是其他，這應當是優(yōu)選的結果，而優(yōu)選的過程，也正是任意角三角函數(shù)概念從初中理解走向高中理解的過程，從淺層化走向深刻化的過程. 因為學生在思維的過程中一般需要解決這樣的幾個問題：將摩天輪轉換成坐標系上的圓具有什么樣的一般意義？以、、代替初中階段的理解有什么樣的好處？這體現(xiàn)了數(shù)學知識的什么特點？

這些問題的解決，在學生思維中具體的建構過程是怎么樣的呢？根據筆者在教學中的了解，學生的思維過程大概是這樣的：對于第一個問題，一個具體的事物（如本題中的摩天輪）與數(shù)學模型之間存在著的關系，決定了學生思維的迅捷程度，當學生思維比較迅速、大腦中數(shù)學模型比較多的時候，就可以迅速地將具體事物抽象成數(shù)學模型；而對于第二個問題的分析，關鍵則在于構建過程中，通過數(shù)學模型的比較進行優(yōu)化，這個選擇的過程實際上是深化之前所建起的數(shù)學模型的過程，學生的思維在這個過程中往往會經過隱性的、緘默的成長，而數(shù)學構建的能力也就由此形成. 至于第三個問題，筆者設計的意圖更多的是讓學生從數(shù)學課程的角度思考具體的學習過程，對于高中數(shù)學學習來說，這樣的高度還是必要的，因為只有從課程的角度理解數(shù)學學習，才能讓數(shù)學學習的過程具有一種方向性，從而化解具體數(shù)學難題解決過程中遇到的困難心理，并且可以提升數(shù)學構建能力，提升構建品質.

同時我們認為，這三個問題是一體的，但又確實有分開提的必要，因為對于這個學段的學生來說，通過基于變式思想的提問，可以促進學生對同一問題的深刻理解. 學生理解的過程當然也是完成數(shù)學構建的過程，筆者的教學經驗表明，學生在面對這三個問題的時候會有這樣的心理活動：從生活中的摩天輪向坐標上圓的轉換過程，實際上是用數(shù)學語言去描述生活的一種方式（學生認識到這一點之后，教師可以提供類似于此的別的事例來加深學生的認識，如教材上所給出的相關例子等），于是數(shù)學構建的過程就成為現(xiàn)實；當然這還不夠，在這個過程中還會有學生依賴情境去構建數(shù)學知識的過程，比如說A點的運動過程中會處于不同象限之內（時間不同），這個時候學生思維加工的對象還會從已經抽象的坐標上的圓，回到更為形象的摩天輪上去，但同時學生的思維并沒有忽視坐標上的圓這一抽象對象的存在. 也就是說，對于大部分學生而言，此時思維加工的對象是在形象與抽象之間不停地轉換，而這與數(shù)學構建的過程恰恰是一致的，因為數(shù)學構建的過程，就是從形象到抽象，當抽象出現(xiàn)困難時又轉到形象上的過程.

基于情境的建構，高中數(shù)學教學的重要思路

基于以上的分析可以看出，基于情境去完成數(shù)學構建，是高中數(shù)學教學的重要思路，是從學習思維角度關注學生數(shù)學學習過程的重要途徑.

有學者指出，學生基于情境進行數(shù)學學習的過程，就是基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，發(fā)展學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，從而建立新舊知識之間非人為的實質性聯(lián)系，以經歷“數(shù)學化”并學會“數(shù)學地思維”的過程. 筆者以為，對這段話的理解應當是：高中數(shù)學教師在教學的過程中，需要精心地創(chuàng)設數(shù)學學習的情境，利用情境去促進學生對數(shù)學知識的建構，可以讓學生在思維加工的形象對象與抽象對象之間有效地轉換，從而使得思維不至于因為加工對象的模糊而斷開.

這里尤其需要重視的就是學生的思維對象清晰與否的問題，因為其直接關系到學生的思維加工對象是否可靠，關系到構建過程是否順利. 因此，研究學生的“數(shù)學現(xiàn)實”就成為一個很重要的內容，事實上建構主義學習觀點對“現(xiàn)實”也是極為重視的，認為其是學生有效構建得以發(fā)生的第一個重要基礎，實際教學中的挑戰(zhàn)在于，數(shù)學教師如何才能準確地把握學生的數(shù)學現(xiàn)實，因為數(shù)學現(xiàn)實更多的是主觀建構的結果，并非一種外在的物化體現(xiàn). 傳統(tǒng)教學中，根據學生的作業(yè)與考試情況可以判斷出學生的學習情況，新課程下的高中數(shù)學教學不僅要延續(xù)這一傳統(tǒng)，還需要更多的教師與學生之間的直接交流，以更準確地把握學生數(shù)學學習的過程. 應當說，在較大的應試壓力之下，要真正做到這一點，還是存在不少困難的.但從學生有效建構數(shù)學知識的角度來看，這一努力又是必需的. 同時，相關的課題研究也是必要的，筆者曾經就“學生數(shù)學知識構建過程細化研究”做過系列思考，發(fā)現(xiàn)這樣的研究思路可以促進自身系統(tǒng)而持續(xù)地關注某一個話題，從而也就讓自身對數(shù)學教學的理解，尤其是對學生構建數(shù)學知識過程的理解變得更加深刻.

也因此，高中數(shù)學教學中對于情境的認識，要從新課引入時借助教學手段而實現(xiàn)的技術性認識，轉移到基于學生的學習思維來構建數(shù)學理解的學術性認識上來. 如此，有效教學才有可能真正實現(xiàn)！