高中數學“怎樣審題”表及其應用

張哲++韓紅軍++張紅祥

[摘 要]復習是教學過程的一個重要環節，初中化學復習過程不是老師將學生的知識進行機械的重復和再現，也不是按照老師劃定的內容讓學生死記硬背，而是應該先按照教材體系使知識前后系統化，形成知識鏈，形成知識網絡，突出知識之間的相互聯系，使學生正確理解和掌握所學知識，提高綜合能力。

[關鍵詞]初中化學；復習；能力培養

美籍數學家喬治﹒波利亞（George Polya）的“怎樣解題表”將解題分為四部分：審題，轉換，實施，反思，指出“審題”作為解題過程的第一步驟至關重要。[1]審題作為解題的第一環節，它是確定解題的依據，是形成解題思路的重要一環，審題的正確與否，直接關系解題的成效，只有全面透徹的審題，才能有明確的解題方向，合理的解題思路。

審題是解題的靈魂，審題為解題思維提供切入點和突破點，審題過程可以看成是一個思維定向的過程，即在審題中分析目標、簡化目標，由抽象到具體，將不易把握轉化為可把握，根據條件聯想類似方法，解題思路由封閉轉變為開放，讓學生進行有效地思維，逐步使學生能夠準確、完整地把握概念、公式、定理。[2]

1 程序化審題的模式

1.1 什么是審題

數學審題是解數學題的首要步驟，是正確解題的前提，是提取解題有用信息的積極思維活動。審題是解題的開始，是感知問題，分析問題特征，并將其反映在頭腦中的思維活動。

從圖式的角度看，審題圖式包含了預測、選擇、檢驗、證實等心理活動。在審題過程中，圖式一經啟動，所有圖式中的信息都將處于一種準備狀態，可以隨時參與理解，但又過于雜亂，于是圖式會結合數學問題的各方面信息，從中選擇最合適的內容與圖式中的信息進行交流。在審題過程中，如果證明某條信息是錯誤的，或是發現有新的信息能給予數學問題更合理的解釋，那么圖式將重組，不斷摒棄、修正。

從審題的程序看，審題可以分為“四個步驟”：（1）讀題——弄清字面含義。（2）理解——弄清數學含義。（3）表征——識別題目類型。（4）深化——接近深層結構。簡單題一旦弄清題意，題型就得以識別，思路隨之打通，但有時認識是淺層的.對于變通過的、“形似而質異”的、或綜合性較強的題目，則還要不停頓地“弄清問題”.因而，“弄清題意”的工作在“識別題目類型”之后還結束不了，主要表現在兩個方面：其一是在思路探求中，還有一個繼續弄清題意的過程，否則會思路受挫、思維走偏；其二是在思路業已打通、解法初步得出時，仍有一個回顧反思、再認識的過程，即更本質的“弄清問題”、努力接近問題的深層結構.[3]

根據以上研究成果，本文所涉及的數學審題就是對題目信息進行觀察、理解、處理，感知數學問題中的文字和圖形信息，弄清哪些是條件，哪些是結論，獲取數學“符號信息”和“形象信息”，識別題目的類型，將獲取的信息不斷重新整合，提取有用的結論，明確解題方向、思路和途徑；在解題過程中發現已知和未知之間的聯系無法建立時回題，檢查是否遺漏或忽略某一條件；當問題得到解答時，檢測結論是否與已知相符合，是否與已知有矛盾之處的一種立體螺旋式動態思維活動。

1.2 程序化審題的模式

數學審題貫穿于整個解題過程之中，包括解題前的初審、解題中的再審、解題后的終審三部分。三部分互相依存，形成一個有機的整體，又密不可分。

2 “怎樣審題”表

仿照美籍匈牙利數學家、數學教育家喬治·波利亞（George Polya，1887～1985） 1945年所著的《怎樣解題》一書中提到的“怎樣解題”表，我們設計了高中數學“怎樣審題”表，主要包括解題前的初審、解題中的再審、解題后的終審三部分.

2.1 解題前的初審——弄清問題 尋找聯系

2.2 解題中的再審——挖掘隱含 突破障礙

2.3 解題后的終審——反思回望 檢驗論證

3 “怎樣審題”表的應用

我們以下題為例說明“怎樣審題”表的應用，原題如下：已知 ，則 的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

第一步，解題前的初審

弄清題意：本題是解析幾何問題，圓是載體，已知條件主要有： 結論主要有：求 的取值范圍。

明確范圍：本題涉及圓的一般方程、標準方程、參數方程之間的互化，涉及多參數問題的處理策略。

確定類型：本題屬于解析幾何中多參數最值問題。

根據上述分析，我們很容易想到下列審題程序一：

根據上述思路，我們很容易求出

嘗試回憶：此問題與下列問題非常相似： 是曲線

上任意一點，則 的最大值是（ ）

A.36 B.6 C.26 D.25

這兩個問題結論非常相似，但是條件好像完全不同，實則可以將本題條件圓的一般方程變形為圓的參數方程。

展開聯想：聯想到下列問題：若實數x，y滿足

求x+y+1的最大值。

本題已知條件 可以變形成

顯然這是一個圓，此問題可以借助圓的參數方程，轉化成三角函數求最值問題，于是我們可以得到如下審題程序二：

第二步，解題中的再審

本題涉及兩個變量，而且結論中的 所以上述審題程序一是有漏洞的，失誤主要是忽略了題目中由于兩個變量x，y的相互制約所隱含的變量x的取值范圍，所以我們可以進一步完善上述審題程序一如下：

回歸定義：繼續深入審視本題，已知條件 可以變形成 即 由上述審題程序一中知：

聯想到涉及兩個參數的范圍，求最值問題，我們很自然想到線性規劃的定義，能否運用線性規劃知識求解，于是我們可以得到如下審題程序三：

第三步，解題后的終審

運用此題的審題程序我們也可以用來解決下列問題：

1.已知實數x，y滿足 則 的最小值為（ ）

A.3 B.5 C.9 D.25

2.已知實數x，y滿足 ，求：

（1） 的最值； （2） 的最小值； （3） 的最值。

數學審題的目的就在于理解題目，所以我們必須做好以下幾件事：（1）仔細審題，抓住題干，弄清題設條件的數學含義。（2）抓住題設條件中的關鍵字眼，聯想是否有已知結論可以借用。（3）排除迷惑，不要受題設條件中非關鍵字眼的影響，以至于產生不必要的知識點聯想。（4）盡可能挖掘題設條件中的“隱性信息”。（5）嘗試用數學語言或圖形來表達題目。（6）若題設條件與幾何意義明顯，畫出草圖來理解題目含義。數學審題過程它不僅對解題者的知識基礎和知識結構有要求，而且依賴于解題者擁有良好的思維品質和學習習慣。

數學審題能力的高低，直接反映了學生的數學解題能力和學習數學的水平。在課堂教學中，數學審題能力的提高對于學生正確快速解題的作用體現在以下四個方面：（1）有利于理解和應用數學知識。教學中，培養學生審題，可以使學生明了解題方向，理清解題思路，抓住題目重點；可以加深學生對有關內容的理解，發現知識間的內在聯系及規律；可以使學生的知識局限得以突破，從而拓展思維，優化知識框架，完善知識體系。（2）有利于促進學生思維品質的優化。培養學生的審題意識，才能促使學生在審題中提升思維品質，做到準確細致、深刻全面，養成良好的思維習慣，做到目標明確，重點突出，善于挖掘，進一步提高學生準確找到解決問題突破口的能力。（3）有利于培養學生“提出問題”的意識。教會學生“提出問題”是教會學生怎樣解題的一個切入口和突破口。為了激發學生提出問題的興趣和意識，在審題時，引導學生緊扣題目的條件和結論，進行分析、聯系、轉化等操作，進而讓學生學會“提問”。（4）有利于培養學生自主學習的意識。“學起于思，思源于疑”。在數學審題過程中，我們應當有意識地鼓勵學生多方位、多角度地思考問題，對題中的各個條件之間的聯系，新的結果等進行大膽猜想，主動質疑，發現問題并嘗試解決問題。

參考文獻：

[1]波利亞，閻育蘇譯.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.

[2]周小芬.高中數學審題訓練方法探究[J].麗水學院學報，2005（10）：95—97.

[3]羅增儒.數學審題審什么，怎么審？[J].中學數學教學參考，2012（4）：39—43.

本文是2015年陜西省教育學會一般課題——高中學生數學審題失誤的原因與對策研究（編號：SJHYBKT2015315—02）的研究成果。