大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題對(duì)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的促進(jìn)作用*

劉小松

(嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 湛江 524048)

大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題對(duì)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的促進(jìn)作用*

劉小松

(嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 湛江 524048)

摘要：以近幾屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)學(xué)專業(yè)組的預(yù)賽題為例，淺析其對(duì)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的促進(jìn)作用，這無(wú)疑將推動(dòng)數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革，從而促進(jìn)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才脫穎而出。

關(guān)鍵詞：大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題；數(shù)學(xué)分析；促進(jìn)作用

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽是一項(xiàng)由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)舉辦的全國(guó)性賽事，參加對(duì)象是大學(xué)本科二年級(jí)及以上的在校大學(xué)生，分?jǐn)?shù)學(xué)專業(yè)組和非數(shù)學(xué)專業(yè)組，該賽事始于2009年，已舉辦7屆，旨在“為青年學(xué)子提供展示數(shù)學(xué)特長(zhǎng)的舞臺(tái)，也為發(fā)現(xiàn)和選拔優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才積累資源”[1]。現(xiàn)影響日益擴(kuò)大，參賽人數(shù)眾多，越來(lái)越受到社會(huì)各界的關(guān)注。本文結(jié)合本人多次帶隊(duì)參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽廣東賽區(qū)比賽的體會(huì)以及近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)學(xué)專業(yè)組的預(yù)賽題，從以下三個(gè)方面進(jìn)行剖析，以期起到“拋磚引玉”的作用。

1競(jìng)賽題對(duì)數(shù)學(xué)分析課程概念、性質(zhì)內(nèi)容教學(xué)的促進(jìn)作用

以下為首屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽題(數(shù)學(xué)專業(yè)類)的第五題：

2競(jìng)賽題對(duì)數(shù)學(xué)分析課程數(shù)學(xué)應(yīng)用內(nèi)容教學(xué)的促進(jìn)作用

第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽題(數(shù)學(xué)專業(yè)類)有下面一道計(jì)算應(yīng)用題(第四題)：對(duì)于ΔABC，求3sinA+4sinB+18sinC的最大值。初看此題，以下兩個(gè)思路很自然，第一易認(rèn)為這是一道初等數(shù)學(xué)應(yīng)用題，用中學(xué)的知識(shí)和方法即可解決，其實(shí)經(jīng)過(guò)一番嘗試后，用中學(xué)的知識(shí)解決非常艱難，且技巧性非常高，計(jì)算量大；第二易視該題為典型的條件極值問(wèn)題，用拉格朗日乘數(shù)法求解是常規(guī)解法，但經(jīng)仔細(xì)推敲，發(fā)現(xiàn)建立的拉格朗日函數(shù)有四個(gè)變量，穩(wěn)定點(diǎn)不好確定，且極大值點(diǎn)的判別也不容易。因此，這兩個(gè)思路只能遺憾地加以放棄。學(xué)過(guò)數(shù)分的人熟知，一元函數(shù)的最值問(wèn)題相對(duì)好處理，而且方法也較多，因此，直接將三元函數(shù)最值問(wèn)題化為二元函數(shù)最值問(wèn)題，然后再將二元函數(shù)最值問(wèn)題化為一元函數(shù)最值問(wèn)題，這很可能是一條邁向成功之路。當(dāng)然，以上想法也有一個(gè)難點(diǎn)，就是如何轉(zhuǎn)化? 但利用熟悉的三角恒等式和柯西不等式，發(fā)現(xiàn)這個(gè)難點(diǎn)是不難突破的。最后，通過(guò)一元函數(shù)最值問(wèn)題的常規(guī)解法，本題獲得圓滿的解決。本題的解決給我教學(xué)的最大啟示是：對(duì)一些經(jīng)典問(wèn)題，也不能思維定勢(shì)，退一步可能是海闊天空。另外，這道題也可進(jìn)一步推廣，即將相應(yīng)三角函數(shù)前面的系數(shù)一般化(適當(dāng)加以限制)，我指導(dǎo)的一篇10屆本科畢業(yè)論文就是從該題出發(fā)，得到較為一般的結(jié)論。

3競(jìng)賽題對(duì)數(shù)學(xué)分析課程計(jì)算內(nèi)容教學(xué)的促進(jìn)作用

首屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽題(數(shù)學(xué)專業(yè)類)有這樣一道題：

初步瀏覽該題，這是一道計(jì)算二重積分的題，常規(guī)解法是化二重積分為累次積分。由于該題的函數(shù)是以微分方程形式給出，是隱函數(shù)，而非顯函數(shù)，直接計(jì)算肯定很困難，但從積分域上，很自然想到用極坐標(biāo)變換比較合適。而利用了極坐標(biāo)變換后，接下來(lái)就是將變換后的二重積分化為累次積分。但化為累次積分，又遇到難關(guān)，由于被積函數(shù)不是顯函數(shù)，不能直接用定積分進(jìn)行計(jì)算。但聯(lián)想到第二型曲線積分可化為定積分后，當(dāng)然定積分也可化為第二型曲線積分，因此將第一個(gè)積分化為第二型曲線積分不失為一個(gè)好的辦法。最后利用格林公式和已知條件，就將一道二重積分題化為一道先二重后一重的積分問(wèn)題，這樣迂回的好處是最后積分的被積函數(shù)“神奇”地變?yōu)榫唧w函數(shù)，再輕松地利用極坐標(biāo)變換，就化為熟悉的定積分，求解變?yōu)榕e手之勞之事。縱觀該題的解法，極坐標(biāo)變換起了最關(guān)鍵的作用，把“未知”化為“已知”，化“難”為“易”，不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的常用做法，也為數(shù)學(xué)分析課程的常用做法。該題也是一道綜合題，考察了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)：極坐標(biāo)變換、二重積分化累次積分公式、第二型曲線積分化定積分公式以及格林公式等。

4結(jié)語(yǔ)

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題數(shù)學(xué)分析題占整個(gè)競(jìng)賽內(nèi)容的50%左右，其綜合性，技巧性和新穎性，在參賽學(xué)子的腦海里已牢牢地留下印記。本文僅從三個(gè)實(shí)例剖析競(jìng)賽題對(duì)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的促進(jìn)作用，很可能有遺漏和體會(huì)不深刻的地方，但即便如此，這對(duì)我開(kāi)展數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)收益頗豐，主要體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)分析課程概念、性質(zhì)和計(jì)算等教學(xué)內(nèi)容的把握上，對(duì)學(xué)生邏輯思維的訓(xùn)練上有進(jìn)一步的感性認(rèn)識(shí)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張?zhí)斓拢抻袢?全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)指南[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].4版.北京：高等教育出版社，2013.

(責(zé)任校對(duì)謝宜辰)

doi:10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.06.010

收稿日期：20160201

基金項(xiàng)目：嶺南師范學(xué)院2014年精品課程建設(shè)項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：劉小松(1968- )，男，湖南邵陽(yáng)人，教授，博士，主要從事多復(fù)分析研究。

中圖分類號(hào)：G642.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-5884(2016)06-0029-02