運用數學思想解“三者同籠”問題

李卓 李秋明 蔣麗晶 胡凡

[摘 要]小學數學解題常常會涉及數學思想，要重視數學思想在解題中的滲透和運用，讓學生在解題過程中體會數學思想。以雞兔同籠問題基礎上衍生出的“三者同籠”問題為例，從數學思想的角度，探討了“三者同籠”問題的解法。

[關鍵詞]數學思想 “三者同籠”問題

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）17-053

雞兔同籠問題，是我國古代著名趣題之一，記載于《孫子算經》之中。雞兔同籠問題是兩者同籠問題，在此基礎上還衍生出了“三者同籠”問題。下面以小學數學練習冊中的蜘蛛、蜻蜓、蟬三者同籠的問題為例，研究“三者同籠”問題的解法。

【題目】蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現在這三種小蟲共有18只，有118條腿和18對翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蟬各有幾只？

一、標準答案

首先，蜻蜓和蟬都是6條腿，計算腿的數量時將它們作為一個整體考慮。

假設全是6條腿的小蟲，則可知蜘蛛有（118-6×18）÷（8-6）=5（只），那么蜻蜓和蟬共有18-5=13（只）。

再假設這13只都是蟬，則可知蜻蜓的數量為（18-1×13）÷（2-1）=5（只），蟬有13-5=8（只）。

評注：總的來說，標準答案將蜘蛛、蜻蜓、蟬三者同籠的問題化歸成了兩者同籠的問題。具體地說，首先將蜻蜓和蟬看作一個整體，此時題目就化歸為蜘蛛與蜻蜓和蟬組成整體的兩者同籠的問題。求出蜻蜓和蟬的總數后，此時題目又化歸成了蜻蜓和蟬兩者同籠的問題。對于小學生來講，蜻蜓和蟬怎么看作一個整體呢？看作一個整體后題目到底化歸成了什么呢？也就是說標準答案對這些分析還不夠具體，因此，從數學思想的角度對這一問題的解法進一步分析，以便小學生理解。

二、運用數學思想解決“三者同籠”問題

分析1：“三者同籠”問題是在兩者同籠問題，即雞兔同籠問題基礎上衍生出來的，因此我們要想辦法把三者同籠的問題化歸為兩者同籠的問題，即學生熟悉的雞兔同籠問題。怎樣化歸呢？根據已知條件，蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，蜻蜓和蟬都有6條腿，因此忽略翅膀的情況下，可以運用數學抽象的思想將蜻蜓和蟬看作一種動物（見圖1），不妨將這種動物命名為“蜻蟬”。此時題目就化歸成了變式1（見圖2）。

變式1：蜘蛛有8條腿，蜻蟬有6條腿和2對翅膀，蜻蟬有6條腿和1對翅膀，現在這三種小蟲共有18只，有118條腿和18對翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蟬各有幾只？

分析2：變式1是一個不太標準的雞兔同籠問題，因為變式1涉及了蜘蛛、蜻蟬的頭、腿、翅膀，而標準的雞兔同籠問題只涉及了頭和腿，因此，需要的運用簡化的思想忽略翅膀，將這個不太標準的雞兔同籠問題化歸為標準的雞兔同籠問題，即刪除有關翅膀的已知條件，此時變式1便化歸成了變式2（見圖3）。

變式2：蜘蛛有8條腿，蜻蟬有6條腿，現在這兩種小蟲共有18只，共有118條腿，蜘蛛、蜻蟬各有幾只？

分析3：變式2是一個標準的雞兔同籠問題，古今中外許多人都對它的解法作過研究，可以說它的解法已經有一籮筐了。這里僅列舉列方程的解法。

解：設有x只蜘蛛，那么就有（18-x）只蜻蟬。

蜘蛛和蜻蟬共有118條腿，則

8x+6（18-x）=118

x=5。

18-5=13（只）。

蜘蛛有5只，蜻蟬有13只。

將這一結果代入例1，同時運用簡化的思想，即刪除有關蜘蛛和腿的已知條件，此時例1就化歸成了變式3（見圖4）。

變式3：蜻蜓有2對翅膀，蟬有1對翅膀，現在這兩種小蟲共有13只，有18對翅膀，蜻蜓、蟬各有幾只？

分析4：與變式2一樣，變式3也是一個標準的雞兔同籠問題，可以運用列方程等解法。

解：設有y只蜻蜓，那么就有（13-y）只蟬。

蜻蜓和蟬共有18對翅膀，則

2y+（13-y）=18

y=5。

13-5=8（只）。

蜻蜓有5只，蟬有8只。

評注：這種解法從數學思想的角度對例1的解法進行了具體分析。首先，運用數學抽象的思想將例1化歸為變式1；其次，運用簡化的思想將變式1化歸為變式2；最后，運用簡化的思想將例1化歸為變式3（這一過程見圖5）。

三、解題感悟

以上兩種解法本質上是一樣的，都是將三者同籠的問題化歸為兩者同籠的問題。但是，第二種解法與標準答案的解法相比運用數學思想更為明顯，學生可以更好地感受數學思想。使學生獲得數學的基本思想是數學課程的重要目標，數學課程固然應該教會學生許多必要的數學知識，但更重要的是讓學生在學習這些結論的過程中獲得數學思想。因此讓學生感受第二種解法中的數學思想也是新課程理念的要求。此外，利用數學思想將三者同籠問題化歸為兩者同籠的問題這一過程中，運用的抽象、簡化的數學思想都是比較簡單的，也是學生非常容易理解的。

四、結語

數學思想是關于數學內容和方法的本質認識，是對數學內容和方法進一步的抽象和概括。教師要重視數學思想在解題中的滲透和運用，讓學生在解題過程中體會數學思想。

（責編 童 夏）