電磁感應(yīng)過程中的動(dòng)力學(xué)問題舉例

山東省棗莊二中　牛玉平

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電磁感應(yīng)過程中的動(dòng)力學(xué)問題舉例

山東省棗莊二中牛玉平

一、命題規(guī)律

電磁感應(yīng)過程中的動(dòng)力學(xué)問題為每年高考的熱點(diǎn)，考查方式既有選擇題，又有計(jì)算題，命題規(guī)律主要有以下兩點(diǎn)：

（1）與牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)結(jié)合的動(dòng)態(tài)分析問題。

（2）電磁感應(yīng)過程中的安培力問題、涉及受力分析及功能關(guān)系的問題。

二、電磁感應(yīng)過程中的動(dòng)力學(xué)問題的解題思路

（1）找準(zhǔn)主動(dòng)運(yùn)動(dòng)者，用法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。

（2）根據(jù)等效電路圖，求解回路中電流的大小及方向。

（3）分析安培力對(duì)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)速度、加速度的影響，從而推出對(duì)電路中電流的影響，最后定性分析導(dǎo)體棒的最終運(yùn)動(dòng)情況。

（4）根據(jù)牛頓第二定律或平衡方程求解。

三、典例選析

圖1

例1如圖1中a所示，MN左側(cè)有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。現(xiàn)將一邊長為l、質(zhì)量為m、電阻為R的正方形金屬線框置于該磁場(chǎng)中，使線框平面與磁場(chǎng)垂直，且bc邊與磁場(chǎng)邊界MN重合。當(dāng)t=0時(shí)，對(duì)線框施加一水平拉力F，使線框由靜止開始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)t=t0時(shí)，線框的ad邊與磁場(chǎng)邊界MN重合。圖b為拉力F隨時(shí)間變化的圖線。由以上條件可知，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為（）。

例2如圖2中a所示，兩根足夠長、電阻不計(jì)的光滑平行金屬導(dǎo)軌相距為L1=1 m，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=30°角，上端連接阻值R=1.5 Ω的電阻。質(zhì)量m=0.2 kg、阻值r=0.5 Ω的金屬棒ab放在兩導(dǎo)軌上，距離導(dǎo)軌最上端為L2=4 m，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸。整個(gè)裝置處于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，該勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間變化的情況如圖b所示。為保持ab棒靜止，在棒上施加了一平行于導(dǎo)軌平面的外力F，g=10 m/s2。求：

圖2

（1）當(dāng)t=2 s時(shí)，外力F1的大小。

（2）當(dāng)t=3 s前的瞬間，外力F2的大小和方向。

（3）請(qǐng)?jiān)趫Dc中畫出前4 s外力F隨時(shí)間變化的圖像（規(guī)定F的方向沿斜面向上為正方向）。

思路點(diǎn)撥（1）由圖可知，0～3 s時(shí)間內(nèi)，B均勻增大，回路中產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求出感應(yīng)電流，由平衡條件求解t=2 s時(shí)，外力F1的大小。（2）與上題用同樣的方法求出外力F2的大小和方向。（3）由B-t圖像得到B與t的關(guān)系式，根據(jù)平衡條件得到外力F與t的關(guān)系式，再作出圖像。解決本題的關(guān)鍵是掌握法拉第電磁感應(yīng)定律、平衡條件、安培力公式和能量守恒定律等電磁學(xué)和力學(xué)規(guī)律。得到解析式后再畫圖像是解答此類問題的常用思路，我們要多做相關(guān)的訓(xùn)練。

劉崐是清末著名的歷史人物，也是清末湖南地區(qū)具有重大影響力的高級(jí)官員。他一心一意為朝廷盡責(zé)，對(duì)朝廷效忠，十分廉潔,是當(dāng)時(shí)公認(rèn)的忠臣和清官。從1844年到1882年的38年時(shí)間里，劉崐歷經(jīng)道光、咸豐、同治、光緒四朝，仕途顯赫,著述頗豐。著作有《劉中丞奏稿》八卷、《劉侍郎奏議》。北京故宮西華門旁的中國第一歷史檔案館內(nèi)收藏有幾百副由劉崐書寫的奏折，軍機(jī)處上諭檔內(nèi)也有關(guān)于劉崐的記錄近三百多條。民國《景東縣志稿·藝文志》載有劉崐時(shí)文，《禺稷顏?zhàn)右椎貏t皆然》《通天地人為儒賦》《學(xué)然后知不足賦》和《重修岳麓書院記》《岳麓續(xù)志補(bǔ)編》等。

根據(jù)楞次定律判斷可知，ab棒所受的安培力沿軌道向上。

ab棒保持靜止，則受力平衡，設(shè)外力F1沿軌道向上，則由平衡條件有mgsin30°-B2IL1-F1=0，可解得：F1=mgsin30°-B2IL1=0.2×10×sin30°-1×1×1=0。

（2）當(dāng)t=3 s前的瞬間，由圖可知，B3=1.5 T，設(shè)此時(shí)外力沿軌道向上，則根據(jù)平衡條件得F2+B3IL1-mgsin30°=0，解得F2=mgsin30°-B3IL1=0.2×10×sin30°-1.5×1×1=-0.5 N，負(fù)號(hào)說明外力沿斜面向下。

（3）規(guī)定F的方向沿斜面向上為正方向，在0～3 s內(nèi)，根據(jù)平衡條件有mgsin30°-BIL1-F=0，而B=0.5t（T），

則得F=mgsin30°-BIL1=0.2×10×sin30°-0.5t×1×1=1-0.5t（N）。

畫出前4 s外力F隨時(shí)間變化的圖像如圖3所示。

圖3

例3 如圖4所示，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一傾斜的平行金屬 導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L，長為3d，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為 θ，在導(dǎo)軌的中部刷有一段長為d的薄絕緣涂層。勻強(qiáng)磁場(chǎng) 的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與導(dǎo)軌平面垂直。質(zhì)量為m的 導(dǎo)體棒從導(dǎo)軌的頂端由靜止釋放，在滑上涂層之前已經(jīng)做 勻速運(yùn)動(dòng)，并一直勻速滑到導(dǎo)軌底端。導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直，且僅與涂層間有摩擦，接在兩導(dǎo) 軌間的電阻為R，其他部分的電阻均不計(jì)，重力加速度為g。求：

（1）導(dǎo)體棒與涂層間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ。

（2）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小v。

（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，電阻產(chǎn)生的焦耳熱Q。

圖4

思路點(diǎn)撥（1）導(dǎo)體棒在絕緣涂層上做勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，根據(jù)平衡條件即可求出動(dòng)摩擦因數(shù)μ。（2）據(jù)題意，導(dǎo)體棒在滑上涂層之前已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，再由平衡條件求出速度大小v。（3）導(dǎo)體棒在涂層上滑動(dòng)時(shí)摩擦生熱為QT=μmgdcosθ，再根據(jù)能量守恒定律求解電阻產(chǎn)生的焦耳熱Q。本題實(shí)質(zhì)是力學(xué)的共點(diǎn)力平衡與電磁感應(yīng)的綜合，要求正確分析受力情況，運(yùn)用平衡條件列方程，關(guān)鍵要正確推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，分析出能量是怎樣轉(zhuǎn)化的。

解析（1）在絕緣涂層上，導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，

則有mgsinθ=μmgcosθ，解得：μ=tanθ。

（2）導(dǎo)體棒在光滑導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)，安培力F安=BIL，感應(yīng)電流，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv。依次代入得

，由于導(dǎo)體棒受力平衡，所以F安=mgsinθ，解得

（3）導(dǎo)體棒在涂層上滑動(dòng)時(shí)摩擦生熱為QT=μmgdcosθ，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)能量守恒定律得，解得

例4如圖5所示，兩根間距為L的金屬導(dǎo)滑，軌水MN平和部P分Q，導(dǎo)電軌阻與不導(dǎo)計(jì)體，左棒端間彎的曲動(dòng)部摩分擦光因數(shù)為μ，水平導(dǎo)軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ，右端有另一磁場(chǎng)Ⅱ，其寬度也為d，但方向豎直向下，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，相隔的距離也為d。有兩根質(zhì)量為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導(dǎo)軌垂直放置，b棒置于磁場(chǎng)Ⅱ中點(diǎn)C、D處。現(xiàn)將a棒從彎曲導(dǎo)軌上某一高處由靜止釋放并沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)下去。（重力加速度為g）

圖5

（1）當(dāng)a棒在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)時(shí)，若要使b棒在導(dǎo)軌上保持靜止，則a棒剛釋放時(shí)的高度應(yīng)小于某一值h0，求h0的大小。

（2）若將a棒從彎曲導(dǎo)軌上高度為h（h＜h0）處由靜止釋放，a棒恰好能運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)Ⅱ的左邊界處停止，求a棒克服安培力所做的功。

思路點(diǎn)撥（1）根據(jù)b棒受力平衡求出電流的大小，根據(jù)閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，從而求出a棒的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出a棒下降的高度。（2）在運(yùn)動(dòng)的過程中，b棒不動(dòng)，根據(jù)能量守恒定律求出整個(gè)過程克服安培力所做的功。本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律等，綜合性較強(qiáng)，對(duì)解題能力要求較高。

解析（1）因?yàn)閍棒進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ后做減速運(yùn)動(dòng)，所以a棒剛進(jìn)入Ⅰ區(qū)域時(shí)，整個(gè)回路的感應(yīng)電流最大，此時(shí)若b棒不動(dòng)，則b棒就可以一直靜止不動(dòng)。

對(duì)b棒：BIL=μmg。

（2）由全過程能量守恒和轉(zhuǎn)化規(guī)律可得mgh=μmg·2d+W克A，解得W克A=mgh-2μmgd。