有趣的阿波羅尼斯圓

安徽省銅陵一中　陳良驥

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有趣的阿波羅尼斯圓

安徽省銅陵一中陳良驥

引例設(shè)A（-c，0）、B（c，0）（c>0）為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之比為定值a （a>0），求點(diǎn)P的軌跡。

（1）當(dāng)a=1時(shí)，上式化簡(jiǎn)為x=0，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是y軸，即線段AB的中垂線。

引例的解析過(guò)程實(shí)質(zhì)上證明了如下定理：平面內(nèi)到定點(diǎn)A、B的距離之比等于常數(shù)a（a≠1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓。這個(gè)定理是由古希臘的數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯首先提出的，所以我們把這個(gè)圓稱為“阿波羅尼斯圓”，把這個(gè)結(jié)論稱為“阿波羅尼斯軌跡”。

除了解析法，上述定理也可以利用幾何法證明，過(guò)程如下：

如圖，不妨設(shè)0

（1）在圓O上任取一點(diǎn)P，若P∈AB，則P為P1或P2，顯然滿足若P埸AB，則△P OA∽△BOP，即，即圓O上每一點(diǎn)P都滿足

由以上可知，平面內(nèi)到定點(diǎn)A、B的距離之比等于常數(shù)a（a≠1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡是以P1P2為直徑的圓。

高考中的阿波羅尼斯圓近年來(lái)，以阿波羅尼斯圓為背景的相關(guān)問(wèn)題備受高考命題者的青睞。從相關(guān)試題對(duì)阿波羅尼斯圓的考查方式和角度來(lái)看，主要分為以下幾類。

1.直接考查軌跡

例1（2013年江蘇卷）如右圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4。設(shè)圓C的半徑r=1，圓心在l上。

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓的切線，求切線的方程。

（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。

解析（1）易知C（3，2）。設(shè)切線方程為y=kx+3，則由題意得，解得k=0或，即切線方程為

（2）設(shè)M（x，y），一方面由|MA|=2|MO|，求得點(diǎn)M（x，y）滿足x2+（y+1）2=4，即點(diǎn)M在一個(gè)新圓E（圓心E（0，-1），半徑R=2）上，

另一方面，點(diǎn)M還在圓C上，所以圓C與圓E有公共點(diǎn)，

2.與解三角形結(jié)合

解析不妨設(shè)A（0，0），B（2，0），C（x，y）（y≠0），由求得點(diǎn)C的軌跡方程是x2+y2-8x+8=0（y≠0），即點(diǎn)C在圓心為（4，0），半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)C到AB邊距離的最大值是，于是△ABC面積的最大值為

3.突出比例特征

例3（2014年湖北卷）已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn)A（-2，0），若定點(diǎn)B（b，0）（b≠-2）和常數(shù)λ（λ>0）滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，則

（1）b=＿＿。（2）λ=＿＿。

解析易知λ≠1。設(shè)M（x，y），由|MB|=λ|MA|，知化簡(jiǎn)得

與方程x2+y2=1比較知

例4（2015年湖北卷）如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y

軸正半軸相交于A、B兩點(diǎn)（B在A的上方），且|AB|=2。

（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＿＿。

（2）過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于點(diǎn)M、N，下列三個(gè)結(jié)論：

其中正確結(jié)論的序號(hào)是＿＿。（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

（2）方法一：設(shè)N（x1，y1），易知

方法二：注意到圓O：x2+y2=1與y軸交于點(diǎn)N0（0，1），M0（0，-1），且，由阿波羅尼斯圓的幾何法證明過(guò)程知，以N0（0，1），M0（0，-1）為直徑的圓上的每一點(diǎn)都符合到A、B距離之比為定值，所以，所以可以判斷①②③都正確。