三次曲線過定點的切線有幾條？

2016-06-23 04:01:25安徽省太和中學

青蘋果 2016年6期

安徽省太和中學　岳峻

三次曲線過定點的切線有幾條？

安徽省太和中學岳峻

一、問題的提出

引例（2014年北京卷）已知函數f（x）=2x3-3x。

（1）求f（x）在區間［-2，1］上的最大值。

（2）若過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍。

（3）過點A（-1，2），B（2，10），C（0，2）分別存在幾條直線與曲線y=f（x）相切？（只需寫出結論）

本題第（2）（3）問都是“過一點作三次函數圖像切線的條數”的問題，且第（3）問只需寫出結論，如何才能迅速地進行判斷呢？有沒有規律性的結論呢？

二、直線與曲線相切的概念

如圖1，設曲線C是函數y=f（x）的圖像，在曲線C上取點P（x0，y0）及與P鄰近的點Q（x0+Δx，y0+Δy），過P、Q兩點作割線，并分別過P、Q兩點作x軸、y軸的平行線MP、MQ，又設割線PQ的傾斜角為β，那么MP=Δx，MQ=Δy。這就是說，就是割線的斜率。

圖1

圖2

如圖2，當點Q（x0+Δx，y0+Δy）沿著曲線逐漸向點P（x0，y0）接近時，割線PQ將繞著點P逐漸轉動。當點Q沿著曲線無限接近點P，即Δx→0時，割線PQ有一個極限位置PT，那么，直線PT叫作曲線在點P處的切線。

由直線與曲線相切的概念可知，切線是割線的極限位置，直線與曲線相切是一個局部的概念，因而直線l與曲線C可以同時相切于點A并相交于點B，比如曲線y=x3與直線y=3x+2在點（-1，-1）處相切，在點（2，8）處相交，如圖3。

三、探究

對于函數f（x）=2x3-3x，過定點Q（x0，y0）的直線l與函數y=f（x）的圖像相切，這樣的直線l有幾條？

設直線l與曲線y=f（x）相切于點M（t，f（t）），則切線方程為y-f（t）=f′（t）（x-t），

因為切線必過點Q（x0，y0），則y0-f（t）=f′（t）（x0-t），

所以y0-（2t3-3t）=（6t2-3）（x0-t），整理可得4t3-6x0t2+y0+3x0=0（*）。

顯然，關于t的方程（*）有多少個不同的解，就有多少條不同的切線。

下面，我們來解決方程（*）的解的個數問題。

設g（t）=4t3-6x0t2+y0+3x0，則g′（t）=12t2-12x0t=12t（t-x0），

由g′（t）=0，得t1=0，t2=x0，

（1）當x0=0時，g′（t）≥0，g（t）單調遞增，方程（*）有1個解。

（2）當x0≠0時，g（t）的兩個極值分別為g（0）=y0+3x0，

（ⅰ）當g（0）g（x0）>0，即（y0+3x0）［y0-f（x0）］>0時，兩個極值同號，定點Q（x0，y0）在不等式（y+ 3x）［y-f（x）］>0所表示的平面區域內，此時，函數g（t）只有1個零點，方程（*）有1個解（注意到函數f（x）=2x3-3x是奇函數，坐標原點是對稱中心，等式y+3x=0所表示的直線恰好是曲線y=f（x）在原點處的切線）；

（ⅱ）當g（0）g（x0）=0，即（y0+3x0）［y0-f（x0）］=0時，定點Q（x0，y0）在等式（y+3x）［y-f（x）］=0所表示的曲線上，此時，函數g（t）有2個零點，方程（*）有2個解；