三角函數(shù)章節(jié)案例有效解答之探析

劉鳳

摘 要： 案例教學(xué)是不同階段數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是其需要著力主攻的難點(diǎn)和薄弱點(diǎn)。本文就三角函數(shù)章節(jié)案例的有效解答這一話題，從三個(gè)方面做了探析。

關(guān)鍵詞： 三角函數(shù) 案例教學(xué) 有效解答

三角函數(shù)章節(jié)是高中階段數(shù)學(xué)教材架構(gòu)體系的構(gòu)建“枝干”，同時(shí)也是教師講解、講授等實(shí)踐的重點(diǎn)和難點(diǎn)。三角函數(shù)章節(jié)內(nèi)容是初中階段函數(shù)知識(shí)內(nèi)容的“升華”，同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)知識(shí)的“基石”，其作為一種基本初等函數(shù)，在解決生產(chǎn)、生活等實(shí)際問題中運(yùn)用廣泛。常言道：根基牢，地動(dòng)山搖穩(wěn)不倒。要達(dá)到科學(xué)、高效解決現(xiàn)實(shí)問題的目的，就必須“打基礎(chǔ)”、“重訓(xùn)練”，強(qiáng)化書本數(shù)學(xué)習(xí)題解答的有效訓(xùn)練。案例教學(xué)是不同階段數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是其需要著力主攻的難點(diǎn)和薄弱點(diǎn)。而案例解答的現(xiàn)實(shí)意義和長遠(yuǎn)功效已經(jīng)被教學(xué)工作者所共識(shí)。筆者現(xiàn)就三角函數(shù)章節(jié)案例的有效解答這一話題做探究和分析。

一、三角函數(shù)案例解答應(yīng)注重師生深入互通，體現(xiàn)雙向性。

教育運(yùn)動(dòng)學(xué)說認(rèn)為，案例的講授是課堂實(shí)踐體系的重要環(huán)節(jié)，是課堂實(shí)踐進(jìn)程的重要部分。案例的講解應(yīng)該體現(xiàn)并傳承課堂教學(xué)的雙邊特點(diǎn)和雙向特性，師與生對(duì)等交流、生與生合作探討等多向、多邊活動(dòng)應(yīng)滲透并融入在其中進(jìn)程。但在實(shí)際的案例教學(xué)中，教者的個(gè)體講解或?qū)W習(xí)主體的自行探索的單向問題不同程度地存在。因此，在三角函數(shù)案例解答中，教師要正確處理好師生之間的關(guān)系，將自身的引導(dǎo)功效發(fā)揮出來，組織和引領(lǐng)高中生進(jìn)入到三角函數(shù)的案例講解研析中，緊扣問題要解決的要求、思路的確定及方法的甄別等都需要深入互動(dòng)、討論，在深入的雙邊互通中，達(dá)到探究實(shí)效、共進(jìn)互贏的期望。

如在“如圖所示，α、β分別是坐標(biāo)軸上的一個(gè)角，其度數(shù)分別是30°和300°，OM，ON分別表示角α和角β的終邊。（1）分別求出與α，β兩個(gè)終邊的相同角集合；（2）求出始邊在OM的位置，終邊在ON位置的所有角的集合。”案例講解中，教者實(shí)施互動(dòng)式講解活動(dòng)，主要圍繞在表示角的度數(shù)時(shí)，如何做好角度制或弧度制之間統(tǒng)一的話題，組織高中生開展解答問題活動(dòng)。教者根據(jù)所出示的數(shù)學(xué)問題及要求，在他們自主研析的基礎(chǔ)上，與他們圍繞思路的確定及過程的確認(rèn)進(jìn)行雙邊探討活動(dòng)，一起分析研究解題思路，一起辨析解題過程，并明確告知他們，找出在[-π，π]范圍內(nèi)與α、β都有相同的角度，再根據(jù)任意角的概念和角集合的表示法，可寫出終邊落在陰影部分（含邊界）時(shí)所有角的集合。同時(shí)在解決上述兩個(gè)問題時(shí)要切實(shí)注意角度制和弧度制之間的同一性問題。

二、三角函數(shù)案例解答應(yīng)注重講練融會(huì)貫通，體現(xiàn)發(fā)展性。

教者是主體進(jìn)程實(shí)踐中的“引路人”，探究疑惑的“釋惑者”，以及認(rèn)知探索的“推進(jìn)者”。教者的一項(xiàng)任務(wù)，就是通過有效、精準(zhǔn)的“導(dǎo)引”形式，有力地推動(dòng)他們開展探知和研析活動(dòng)。高中生在研究、分析、探尋三角函數(shù)案例的進(jìn)程中，會(huì)遇到許多“超越”自身學(xué)習(xí)實(shí)際能力的要求和標(biāo)準(zhǔn)。此時(shí)，教者就要發(fā)揮指導(dǎo)功效，在他們的解決三角函數(shù)案例的“練習(xí)”中，實(shí)施有效指導(dǎo)，弄清題意，理清層次，點(diǎn)明聯(lián)系，從而確保三角函數(shù)案例解題深入推進(jìn)。在此過程中，教師的“講解”和學(xué)生的“練習(xí)”二者不是分割、不銜接的，而是聯(lián)系、相貫通的，成為講練合一的有機(jī)整體。

問題：已知角α終邊上有一點(diǎn)P，它的坐標(biāo)為（x，3）（x≠0），并且cosα=3/10x，求sinα和tanα的值。

學(xué)生進(jìn)行解析實(shí)踐：根據(jù)題意可知，這是關(guān)于三角函數(shù)與方程方面的綜合性運(yùn)用題，涉及三角函數(shù)的定義等內(nèi)容。

教師適當(dāng)點(diǎn)撥：在該問題中，要求出sinα和tanα的值，還是要求出點(diǎn)P的坐標(biāo)x，同時(shí)要注意α所在象限的位置進(jìn)行討論。

學(xué)生圍繞解題要求進(jìn)行思路完善，并著手進(jìn)行該問題解答活動(dòng)。

教師強(qiáng)調(diào)：關(guān)鍵要注意α所在的象限不確定時(shí)要采取分類討論的方法采用研析。

高中生按照教師點(diǎn)撥和強(qiáng)調(diào)，開展合作提煉解題方法活動(dòng)，得出其解法。

三、三角函數(shù)案例解答應(yīng)注重解析方略提煉，體現(xiàn)策略性。

在解析上述案例基礎(chǔ)上，總結(jié)提煉環(huán)節(jié)，組織他們對(duì)剛才獲得的解題思路及過程進(jìn)行“回味”和“思索”，要求他們對(duì)其所確定的策略進(jìn)行提煉和總結(jié)。高中生結(jié)合所得思路及所解過程，認(rèn)識(shí)到：“該問題借助三角函數(shù)內(nèi)容，運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合的思想策略。”高中生在教師有序引導(dǎo)下認(rèn)識(shí)到：“該問題解答中，通過函數(shù)的圖像性質(zhì)及三角函數(shù)函數(shù)區(qū)間的求解實(shí)現(xiàn)了有效解答，這其中蘊(yùn)含了數(shù)與形結(jié)合的解題方法。”

教師因地制宜，圍繞“數(shù)形結(jié)合”解題思想進(jìn)行專題講解活動(dòng)，對(duì)該解題思想的本質(zhì)及注意事項(xiàng)等進(jìn)行明確說明，并向高中生指出其在三角函數(shù)章節(jié)中的運(yùn)用，并展示案例進(jìn)行鞏固強(qiáng)化，從而讓高中生對(duì)該解題思想有切身、具體、深刻的認(rèn)識(shí)和掌握，提高其解題技能和素養(yǎng)。

通過上述三角函數(shù)問題的講解活動(dòng)，高中生對(duì)解題思想方法運(yùn)用有了更深刻的認(rèn)知和運(yùn)用。教育學(xué)指出，教學(xué)的目的在于傳授技能及技巧，提高自主學(xué)習(xí)能力。因此，教師無論在三角函數(shù)章節(jié)，還是其他數(shù)學(xué)學(xué)科章節(jié)中，問題解答活動(dòng)的講解，應(yīng)注重對(duì)解題方法或策略的講授，對(duì)典型數(shù)學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用，以題講解，讓他們通過親身探究、實(shí)踐和辨析，對(duì)其有感性認(rèn)知。同時(shí)借助于教師的科學(xué)專題講解，對(duì)其內(nèi)涵、特點(diǎn)及事項(xiàng)等方面深層次掌控，深層次地認(rèn)知和掌握知識(shí)，保證在其方法策略運(yùn)用中自如、高效、科學(xué)。

教師應(yīng)強(qiáng)化課堂活動(dòng)進(jìn)程中問題解答的組織和推動(dòng)，注重內(nèi)在能力素養(yǎng)的培養(yǎng)，將數(shù)學(xué)解題變?yōu)橹黧w前進(jìn)和發(fā)展的“跳板”，開展精心教學(xué)實(shí)踐。

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