涉及2個量的概率問題探究

◇　甘肅　姜有軍

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涉及2個量的概率問題探究

◇甘肅姜有軍

在概率計算中常會遇到含有2個變量的復雜問題.若在古典概型中出現2個量,可先將其中一個量的取值定下來,再根據條件討論確定另一個變量的取值,最后用概率公式加以計算;若在幾何概型中出現2個量時,可用2個量構成的面積來計算概率．

x2+2ax+b2=0.

(1) 若a是從0、1、2、3中任取的1個數,b是從0、1、2中任取的1個數,求上述方程有實根的概率;

(2) 若a是從區間[0,3]任取1個數,b是從區間[0,2]任取的1個數,求上述方程有實根的概率．

(1) 古典概型中出現2個量,先將一個量的取值確定,再根據條件討論確定另一個變量的取值,最后利用概率公式求解即可．實驗的全部結果有12個,如何考慮a≥b呢?不妨分別令a=0、1、2、3時,根據條件a≥b來討論b的取值．

當a=0時,b=0;

當a=1時,b=0,1;

當a=2時,b=0,1,2;

當a=3時,b=0,1,2.

圖1

(2) 幾何概型中出現2個量,可用2個量構成的面積來計算概率．實驗全部結果所構成區域為{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},符合a≥b的區域為{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},如圖1所示，故

(1) 設集合P={-1,1,2,3,4,5}和Q={-2,-1,1,2,3,4},分別從P和Q中隨機取一個數作a和b,求y=f(x)在區間[1,+∞)上是增函數的概率;

(1) 實驗的全部結果有36種,需滿足的條件是a>0,且2b≤a,不妨分別令a=1、2、3、4、5時,根據條件來討論b的取值．

當a=1時,b=-2,-1;

當a=2時,b=-2,-1,1;

當a=3時,b=-2,-1,1;

當a=4時,b=-2,-1,1,2;

當a=5時,b=-2,-1,1,2;

(2) 實驗的全部結果所構成區域為{(a,b)|a+b-8≤0,a>0,b>0},而符合a>0,且2b≤a的區域為{(a,b)|a+b-8≤0,a>0,b>0,a≥2b},如圖2所示,其中陰影部分面積比整個區域面積為所求概率,故

圖2

從上述解答過程可以看出,在概率計算中遇到含有2個變量的問題時,先分清概率模型,若是古典概型中出現2個量,先將一個量的取值定下來,而根據條件討論確定另一個變量的取值,最后利用概率公式加以計算;若是幾何概型中出現2個量時,我們常常用2個量構成的面積來計算概率.望讀者仔細體會,將解題思想加以應用．

(作者單位：甘肅省金昌市第二中學)