從錯例分析談空間觀念的培養策略

鄭紅

空間觀念是新課標十大核心詞之一，《義務教育數學課程標準》（2011年版）描述了空間觀念的主要表現，其中包括“能夠根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體;進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化”等。空間是物質存在的一種客觀形式，是物質存在的表現;空間觀念是由長度、寬度、高度表現出來的客觀事物在人腦中留下的概括的形象。空間觀念是創新精神所需的基本因素，沒有空間觀念，就談不上任何發明創造，許多發明創造都是以實物的形態呈現的，都是設計者先根據想象畫出設計圖，然后做出模型，最后完善成功的。在這個過程中，空間觀念起著非常重要的作用。所以明確空間觀念的意義，認識空間觀念的特點，發展學生的空間觀念非常重要。

在實際教學中我發現，培養學生的空間觀念存在著較大的困難，現狀不容樂觀。

一、錯例分析

1.錯例再現

“求彩帶長度”是三年級上冊總復習第113頁中一道經典的實際問題，教材編排此題的目的是：通過本題的練習，使學生進一步熟練掌握長方形、正方形周長的計算方法，并能運用長方形和正方形的周長知識靈活地解決實際問題。由于學生對立體圖形的特點還不熟悉，教材呈現的直觀圖，能幫助學生分析“捆盒子的彩帶包括哪幾個部分”，理解“需要的長度”的實際含義。

雖然在此之前，學生已在一年級上學期直觀認識了長方體、正方體;在一年級下學期利用立體圖形與平面圖形的關系認識了平面圖形——長方形和正方形;在二年級上學期學會了從不同的方向觀察物體;在三年級上學期第七單元掌握了長方形和正方形的特征與周長的計算方法。但是學生對長方體、正方體的特征缺乏系統的認識，空間想象力不夠，教材雖然提供了直觀圖，但要理解捆盒子的彩帶包括哪幾個部分，對學生來說難度較大。我在本校三年級的兩個班中進行了調查測試和訪談，錯誤率80%以上，具體表現如下：

（1）長方體盒子錯誤率83.0%。

主要錯誤：

沒加打結的45厘米：60×2+40×2+30×4。

30厘米只算了兩根：（30+40+60）×2+45。

30厘米、40厘米、60厘米都算了四根：（30+40+60）×4+45。

30厘米、40厘米、60厘米都只算了一根：30+40+60+45。

30厘米、40厘米、60厘米都算了六根：（30+40+60）×6+45。

打結的45厘米不加反減：60×2+40×2+30×4-45。

（2）正方體盒子錯誤率85.1%。

主要錯誤：

沒加打結的45厘米：40×4+40×4。

40厘米只算了四根：40×4+45。

40厘米算了十二根：40×12+45 ，40×3×4。

40厘米算了六根：40×6+45。

2.錯因分析

（1）學生對周長這一概念缺乏本質的理解，長方形和正方形的周長計算公式只會在簡單的圖形中運用，部分學生只記住了長方形的周長是兩個已知數字相加再乘以2。所以在解決“長方體的盒子需要多少彩帶？”時，很多學生列出的算式是“（30+60+40）×2+45”。

（2）對于三年級學生來說，他們現在只限于對平面圖形的感知和理解，而這道題目實際上是要求學生具備一定的空間觀念。學生對長方體和正方體的結構不了解，找不準圖上的60厘米、40厘米、30厘米分別是哪一條。

（3）多數學生在計算彩帶的長度時，都是看圖數出根數再計算的，但在計算時，由于空間想象能力的缺乏，能正確數出長寬高的根數的學生為數不多。

（4）教材設計這個練習的意圖是讓學生知道要求彩帶的長度，只要分別求正面的長方形和正方形的周長，再加上打結所需的彩帶長度就可以了。但學生的生活經驗少，平時很少有機會接觸到包裝好的盒子，加之三年級學生的空間思維能力較弱，他們很難根據圖畫的意思想象出盒子的包裝方法，更不能將這根彩帶抽象為一個長方形和一個正方形的形狀來計算。

二、培養策略

人們認識事物的本質、特點及其規律時，總是從具體到抽象，從感性到理性的。因為實物和圖形的直觀性很強，容易為學生認識和理解，也容易使學生建立起空間觀念。利用“實物和圖形”也就是運用和借助實物和圖形讓學生通過觀察、比較、綜合、抽象、分析等方法認識客觀事物，這是幫助學生建立空間觀念最好的途徑。下面，我結合以上錯例談談利用實物和圖形幫助學生建立空間觀念的教學策略。

1.放大過程，抓住本質

在解決“長方體的盒子需要多少彩帶”時，很多學生列出的算式是“（30+60+40）×2+45”。在訪談中我了解到，這些學生是因為牢牢記住了長方形的周長計算公式是（長+寬）×2，而圖中有三個數字，所以就把這三個數字都加進去吧。這讓我回想起在畢業班的總復習時總會有一部分學生概括不出長方形周長計算公式中的“長+寬”表示的是半個長方形的周長。

這個現象引起了我的思考，我們在教學時是否節奏太快了，認識了周長的概念后，馬上要學生概括出長方形和正方形的周長計算公式，然后就是運用公式進行計算。雖然最初作業正確率很高，但到了舉一反三的運用階段，錯誤率就明顯上升。其實，教師在長方形周長的新授課教學時，不要過早地讓學生用（長+寬）×2來計算長方形的周長。在教學中我發現，在教學周長的初始階段，推遲使用公式計算，讓學生用自己的方法計算周長，如長+長+寬+寬、長×2+寬×2、長+寬+長+寬。雖然這樣的方法看起來比較麻煩，但它有助于學生真正地理解長方形和正方形的周長是四邊之和。一段時間后，學生會明白長加寬的和就是半個長方形的周長，再乘以2就是一個長方形的周長，此時他們才真正理解了公式：（長+寬）×2的意思。對于優秀學生來說，公式的理解并不是難事，但對于大多數學生來說，這樣才能從本質上理解長方形的周長這一概念，過早地人為劃一地要求用公式計算長方形的周長，會導致學生機械化地記憶公式，模式化地計算周長，而不會靈活地解決問題。

2.學會觀察，發揮想象

學生的空間知識來自豐富的現實原型，與現實生活非常緊密，也就是引導學生學會認真觀察周圍的實物，重視現實生活中有關空間與圖形的問題，從視覺上去感受空間。我在上述錯例指導課的教學中采用直觀教學法，為學生提供實物模型，用撲克牌盒來代替禮品盒，讓學生觀察這個禮品盒是什么形狀？摸一摸每一個面，并思考：這個長方體禮品包裝盒共有幾個面？這些面是什么形狀？你能找到圖中的30厘米、60厘米、40厘米分別在哪個位置嗎？摸一摸教具，使學生初步感知長方體的特征，引導學生帶著問題觀察，并從立體圖形中準確找到長、寬、高，為接下來計算彩帶的長度做準備。

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：“能從較復雜的圖形中分解出基本圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀。”分解圖形、想象實物就是要求學生具有豐富的想象能力。而想象具有伴隨性，學生在觀察實物、概括實物及幾何圖形時，在練習、操作過程中始終伴隨著想象，這些想象既有助于學生空間觀念的建立，又有助于提高學生的創新能力。

在上述錯例的學生訪談中，我發現多數學生在計算彩帶的長度時，都喜歡采用看圖數出根數再計算的方法，所以我在教學運用長方形、正方形周長解決問題的練習指導課時，就引導學生觀察：由于角度的關系，有些長方形和線段看得到，有些看不到，需要我們去想象。想象一下：在禮品盒上捆的這根彩帶，到底包含了幾根30厘米、幾根40厘米、幾根60厘米呢？經過觀察和想象，學生就會發現這根彩帶中實際上包含了4根30厘米、2根40厘米、2根60厘米，所以彩帶的長度就是4個30厘米、2個40厘米、2個60厘米的和再加上蝴蝶結的45厘米。

教學時，我通常讓學生先觀察實物，然后練習畫出觀察過的實物幾何圖形，有時也運用猜想、設計等手段，借助直觀圖形來進行合情推理，這樣既增強了學生探究的好奇心，加深了學生對數學的理解，激發出潛在的創造力，又讓他們逐步形成合乎邏輯的思考、嚴謹求實的態度和形成創新意識。

3.結合操作，訓練概括

“操作是智力的源泉，思維的起點。”教學時，老師不但要重視引導觀察，而且要重視讓他們由被動聽講變為一起動手、共同參與，親身操作。多種形式的操作能使他們的視覺、觸覺協調起來，充分發揮其內化功能，以豐富他們的空間觀念。

教學時，我讓學生想象一下：在禮品盒上捆一根彩帶，這根彩帶捆上后會是什么形狀？用銅絲代替彩帶動手包扎一下，驗證一下自己想得對不對？讓學生在動手圍一圍中理解“捆盒子的彩帶”指的是哪幾個部分，然后把扎好的銅絲從盒子上取下來，讓學生觀察此時銅絲的形狀是什么？和盒子正面的周長有什么聯系？閉上眼睛想象一下：把取下的銅絲再套上去，是否和彩帶的形狀一個樣？將抽象問題直觀化，為學生分析問題提供表象支撐。選擇合適的學習材料能在很大程度上提高操作的效率。用銅絲代替彩帶，是因為銅絲易彎曲，取下后又可保持長方形的形狀，便于學生觀察。

用銅絲扎好后，我讓學生來說一說：你在驗證過程中發現了什么？學生發現了彩帶是長方形的;彩帶的長度就是右邊這個長方形的周長，因為可以把彩帶移到邊緣進行驗證。這時教師趁熱打鐵：“這根彩帶有多長？如果再扎上另一根彩帶，這根彩帶有多長？這個禮品盒全部包裝好，一共需要多長的彩帶？”此時，學生已經發現了原來求彩帶的長度只要分別求長方形的一個正面和一個側面的周長之和，再加上打結所需的彩帶長度就可以了。

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：“能描述實物或幾何圖形的運動和變化，能采用適當的方式描述物體間的相互關系。”所以老師要積極鼓勵學生從不同的角度觀察物體，操作過后一定要讓學生試著總結概括，把自己在操作過程中的所思所想用簡潔的語言表達出來。讓他們有較多的機會去參與活動，從語言表達和聽覺上感知空間觀念，不斷地豐富他們的空間經驗，使空間觀念得到形成和鞏固。這與觀察實物相比有較大的難度，但是對學生建立空間觀念有很大好處，這是在觀察基礎上的一個飛躍。

總之，空間觀念對數學乃至其他學科的學習，對各種能力的培養都有很大的影響。空間觀念的培養并不是一蹴而就的，而是一個長期的過程。以上三個方面的策略也并不是孤立存在的，而是相互滲透，相互促進，綜合運用的。我們要根據學生的認知規律，引導學生運用多種感官積極主動地參與到教學中來，以促使學生對幾何形體有深刻的認識，讓他們的空間觀念在學習活動中慢慢得到提升。