初中數學須培養學生的思維能力

劉興順

【摘 ? ?要】思維是學生學習數學時學習的一個重要組成部分，也是進行數學思維訓練的載體。加強從正向思維轉向逆向思維的培養，能有效地提高學生思維能力和創新意識。

【關鍵詞】思維 ?能力培養 ?自主探究

中圖分類號：G4 ? ?文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.11.090

課堂教學結果表明：許多學生之所以處于低層次的學習水平，有一個重要因素，就是逆向思維能力薄弱，定性于正向學習的公式、定理等并加以死板套用，缺乏創造能力、觀察能力、分析能力和解決問題的能力。因此，加強逆向思維的訓練，可改變其思維結構，培養思維靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問題和解決問題的能力。迅速而自然地從正面思維轉到逆向思維的能力，正是增強數學能力的一種標志。因此，在課堂教學中務必加強學生逆向思維能力的培養與塑造。

中學數學教學的目的是為了使學生獲得一定的數學知識，更是為了使學生獲得一定的數學能力，形成一定的數學意識，最終能分析問題，解決問題。對學生進行思維能力的培養，顯然是實現這一目的的重要手段。而逆向思維是數學思維的一個重要方面，更是創造性思維的一個重要組成部分。當人們在處理某些問題上習慣于正向思維而處于“山重水復疑無路”的困境時，逆向思維往往會使我們面前呈現“柳暗花明又一村”的醉人情景。所以在數學教學中，要重視學生思維的靈活性、敏捷性和深刻性的培養，從而提高學生的思維品質和思維能力。下面談談如何在初中數學教學中培養學生逆向思維能力的點滴體會。

傳統的教學模式和現行數學教材往往注重正向思維而淡化了逆向思維能力的培養。為全面推進素質教育，本人在三十多年的數學教學實踐中常注重以下幾個方面的嘗試，獲得了一定的成效，現歸納總結如下，以供同仁們參考：

一、加強基礎知識教學中的逆向思維訓練

（一）在概念教學中注意培養相反方向的思考與訓練

數學概念、定義總是雙向的，我們在平時的教學中，只秉承了從左到右的運用，于是形成了定性思維，對于逆用公式法則等很不習慣。因此在概念的教學中，除了讓學生理解概念本身及其常規應用外，還要善于引導啟發學生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展。例如：講述：“同類二次根式”時明確“化簡后被開方數相同的幾個二次根式是同類二次根式”。反過來，若兩個根式是同類二次根式，則必須在化簡后被開方數相同。例如：若 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是同類二次根式，求m，解題時，只要將2m+3 =4+m，即可求出m的值。再如：已知am=3，an=2，求a2m+3n的值。這只需逆用公式am·an=am+n即可，a2m+3n=a2m·a3n=（am）2·（an）3=9×8=72。

任何一個數學概念都是可逆的。在進行概念教學時不僅要從正面講清其含義，也應重視定義的逆向應用。使學生對概念有一個完整的了解，幫組學生透徹理解，形成牢固記憶。特別是在平面幾何入門階段，逆向思維訓練尤為重要，能為以后的推理論證打下良好的基礎。如線段中點的概念，我們知道，若點C為線段AB的中點，則有：AC=BC①或AC=BC=1/2AB②或AB=2AC=2BC③，反之也應理解，若以①、②、③式中的任一式為已知，且點C在線段AB上，都可以得到點C為線段AB中點的結論。又如對“兩條不同的直線不能有兩個或更多個公共點”，可以從逆向思維的角度來幫組學生理解：如果兩條直線有兩個或更多個公共點，那么經過這兩個公共點就有兩條直線，這與公理“經過兩點有且只有一條直線”相矛盾，因此兩條不同的直線不能有兩個或更多個公共點。有時逆用定義還可以更簡捷流暢地解決問題。

（二）重視公式逆用的教學

數學公式是我們解題的重要依據之一，但我們往往習慣于公式的正向思維，對學生進行逆向使用公式的訓練明顯不足。因此，我們在進行公式教學時，應強調公式是可以逆用的，并要進行適當的訓練。公式從左到右及從右到左，這樣的轉換正是由正向思維轉到逆向思維的能力的體現。因此，當講授完一個公式及其應用后，緊接著舉一些公式的逆應用的例子，可以給學生一個完整、豐滿的印象，開闊思維空間。在代數中公式的逆向應用比比皆是。如（a+b）（a-b）=a2-b2的逆應用a2-b2=（a+b）（a-b），多項式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底數冪的運算法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問題，如：計算（1） 22000×52001;（2）212-192;（3）2m×4m×0.125m等，這組題目若正向思考不但繁瑣復雜，甚至解答不了，靈活逆用所學的冪的運算法則，則會出奇制勝。故逆向思維可充分發揮學生的思考能力，有利于思維廣闊性的培養，也可大大刺激學生學習數學的主觀能動性與探索數學奧秘的興趣性。

（三）定理的逆向教學

數學定理并非都是可逆的，在教學中除了要探討教材中給出的某些定理的逆定理，如勾股定理及其逆定理等，同時也要探索某些教材中沒有給出但卻存在的某些定理的逆定理，這樣不僅能鞏固、完備所學知識，激發學生探究新知識的興趣，更能使學生的思維多樣化，提高思維能力。如在教學定理“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線互相重合”后，可組織學生探討下列命題是否為真：1.有一角平分線平分對邊的三角形是等腰三角形;2.有一角平分線垂直于對邊的三角形是等腰三角形;3.有一邊上的中線垂直于這邊的三角形是等腰三角形等等。再如韋達定理的逆用等。

（四）多用“逆向變式”訓練，強化學生的逆向思維

作為思維的一種形式，逆向思維蘊育著創造思維的萌芽，它是創造性人才必備的思維品質，也是人們學習和生活中必備的一種思維品質。在數學教學中充分認識逆向思維的作用，結合教材內容，注重學生的逆向思維能力的訓練，不僅能進一步完善學生的知識結構、開闊思路，更好地實現教學目標，還能達到激發學生創造精神、提升學習能力的目的。“逆向變式”即在一定的條件下，將已知和求證進行轉化，變成一種與原題目似曾相似的新題型。例如：不解方程，請判斷方程2x2-6x+3=0的根的情況。可變式為：已知關于x的方程2x2-6x+k=0，當K取何值時？（1）方程有兩個不相等的實數根;（2）方程有兩個相等的實數根;（3）方程沒有實數根。經常進行這些有針對性的“逆向變式”訓練，創設問題情境，對逆向思維的形成是有很大作用的。

（五）強調某些基本教學方法，促進逆向思維

數學的基本方法是教學的重點內容。其中的幾個重要方法：如逆推分析法，反證法等都可看做是培養學生逆向思維的主要途徑。比如在證明一道幾何命題時（當然代數中也常用），老師常要求學生從所證的結論著手，結合圖形，已知條件，經層層推導，問題最終迎刃而解。養成“要證什么，則需先證什么，能證出什么”的思維方式，由果索因，直指已知。反證法也是幾何中尤其是立體幾何中常用的方法。有的問題直接證明有困難，可反過來思考，假設所證的結論不成立，經層層推理，設法證明這種假設是錯誤的，從而達到證明的目的。

二、加強解題教學中的逆向思維訓練

解題教學是培養學生思維能力的重要手段之一，因此教師在進行解題教學時，應充分進行逆向分析，以提高學生的解題能力。

1.正面不行用反面。這里的反面指的是用反證法，就是從問題的反面入手，它是初中階段兩大間接證發中的一種，另一種是同一法。

2.順推不行則逆推。有些數學題，直接從已知條件入手來解，會得到多個結論，導致中途迷失方向，使得解題無法進行下去。此時若運用分析法，從命題的結論出發，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解題途徑。3.直接不行換間接。還有一些數學題，當我們直接去尋求結果十分困難時，可考察問題中的其他相關元素從而間接求得結果。

總之，培養學生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品性，提高學習效果、學習興趣，及提高思維能力和整體素質。當然，在初中數學教學中，要培養學生逆向思維能力，必須具備豐富而扎實的“雙基”知識，量力而行，適可而止，且有機有節地長期進行養成訓練，切不可急于求成，特別是對中、下面學生而言，過于強調這方面的能力，會增加其課業負擔與精神壓力，可能使之產生厭學情緒。培養學生的創新意識和創新能力是每一個教師義不容辭的責任，就基礎教育階段而言，我們必須把對學生的創新意識和創新能力的培養貫穿在平時的每一節課中。創新思維的內涵是十分豐富的，有意識地對學生進行逆向思維培養不失為發展學生創新思維的一個行之有效的方法。