關(guān)于貝葉斯公式的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

徐彬

摘 要 貝葉斯公式是概率論中非常重要的一個(gè)公式，是教學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。本文從公式的引入、公式的理解、公式的應(yīng)用三個(gè)方面對(duì)貝葉斯公式的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探討，并在教學(xué)中付諸實(shí)踐，旨在充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生理解公式內(nèi)涵，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

關(guān)鍵詞 貝葉斯公式 教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.05.025

Abstract Bayesian formula is a very important formula in probability theory， and it is also a difficult point in teaching. The formula of the introduction， instructional design formula of understanding， formula application of Bayesian formula are discussed from the and in teaching into practice， to fully mobilize the enthusiasm of students learning， guide students to understand the connotation of the formula， to apply their knowledge.

Key words Bayesian formula； teaching design； teaching practice

貝葉斯公式是“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中非常重要的一個(gè)公式，是教學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。貝葉斯公式是英國學(xué)者托馬斯·貝葉斯于17世紀(jì)最早發(fā)現(xiàn)的，之后法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯再次總結(jié)，逐漸被人們熟知，并認(rèn)識(shí)到這個(gè)公式的重要性。如今，貝葉斯公式已經(jīng)在疾病診斷、市場預(yù)測、信號(hào)估計(jì)、產(chǎn)品檢查等方面都有著重要的應(yīng)用。

筆者近幾年一直從事概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)工作，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)常常存在畏難情緒，抱怨公式復(fù)雜難以理解，即便記住公式也不能靈活應(yīng)用，針對(duì)教學(xué)中出現(xiàn)的這一情況，筆者不斷總結(jié)自己多次教學(xué)中的優(yōu)缺點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)只有講透公式的由來及應(yīng)用背景，通過現(xiàn)實(shí)中的實(shí)例激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，才能讓學(xué)生更好地理解接受這部分內(nèi)容。

1 關(guān)于貝葉斯公式的引入

貝葉斯公式是在學(xué)習(xí)了條件概率、乘法公式和全概率公式之后安排的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)習(xí)新內(nèi)容之前，需要首先把這三個(gè)公式進(jìn)行復(fù)習(xí)。

全概率公式解決“知因求果”的情況，遇到“執(zhí)果探因”的情況又該如何解決？即已知結(jié)果事件發(fā)生的情況下，尋找導(dǎo)致發(fā)生的某個(gè)原因的可能性大小，求條件概率（∣）。我們可以從簡單的實(shí)例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生找到解決方法。

例1：有三個(gè)箱子都裝有紅球和綠球，甲箱裝有4個(gè)紅球6個(gè)綠球，乙箱裝有6個(gè)紅球4個(gè)綠球，丙箱裝有5個(gè)紅球5個(gè)綠球，任選一個(gè)箱子從中任取一球，結(jié)果為紅球，問此球取自甲箱的概率是多少？

分析：用表示取出紅球，用表示取自甲箱，表示取自乙箱，表示取自丙箱。、、相互獨(dú)立，、、是樣本空間的一個(gè)劃分

這個(gè)例題簡單明了，學(xué)生容易接受，推導(dǎo)過程也不復(fù)雜，絕大部分學(xué)生是可以理解的，例1所求的問題就是“執(zhí)果探因”，利用條件概率公式、乘法公式和全概率公式，得到（1）式，將（1）式一般化便可得到貝葉斯公式。

2 貝葉斯公式及對(duì)公式的理解

貝葉斯公式的證明較為容易，只需根據(jù)條件概率、乘法公式和全概率公式便可直接寫出。這節(jié)的難點(diǎn)在于對(duì)貝葉斯公式的理解，在給出定理后，要詳細(xì)說明定理應(yīng)用時(shí)需要注意的幾個(gè)方面：

方法一：若完成某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)需要多個(gè)步驟，要求解的是某個(gè)步驟完成后某個(gè)事件發(fā)生的概率，則可以依據(jù)前面步驟完成后的所有可能結(jié)果對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分。

如例1中，完成該事件需要兩個(gè)步驟，步驟1：從三個(gè)箱子中任取一個(gè)；步驟2：從取出的箱子中任取一球。那么我們就可以根據(jù)第一個(gè)步驟完成后的所有可能結(jié)果對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分，即球取自甲箱、球取自乙箱、球取自丙箱。

方法二：如果事件能且只能在原因，，…下發(fā)生，且，，…兩兩互不相容，那么這些原因就是樣本空間的一個(gè)劃分。

例如：甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.6，飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中飛機(jī)必定擊落，現(xiàn)飛機(jī)已經(jīng)被擊落，求飛機(jī)是被兩人擊中而被擊落的概率。由于飛機(jī)被擊落，必然是飛機(jī)被一人、二人或三人擊中，那么我們就可以設(shè)表示飛機(jī)被（ = 1，2，3）人擊中，則，，就構(gòu)成了樣本空間的一個(gè)劃分。

第三，關(guān)于先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率。假定，，…是導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果的原因，（）稱為先驗(yàn)概率，它反映了各種原因發(fā)生的可能性大小，一般在實(shí)驗(yàn)前已確定。條件概率（∣）稱為后驗(yàn)概率，②它反映了實(shí)驗(yàn)后，推斷各種原因發(fā)生的可能性大小，體現(xiàn)了已有信息帶來的知識(shí)更新，經(jīng)常用來分析事件發(fā)生的原因，而貝葉斯公式就是用來計(jì)算后驗(yàn)概率的公式。

3 貝葉斯公式的應(yīng)用

貝葉斯公式在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，教師在選取例題時(shí)要由易到難，貼近生活，讓學(xué)生有興趣思考，有意愿自己動(dòng)手解決。

例2：（疾病診斷）某地區(qū)居民癌癥發(fā)病率為千分之五，用某一試驗(yàn)檢查是否患有癌癥，患此病且檢查結(jié)果呈陽性的概率為95%，而未得此病，檢查結(jié)果卻呈陽性的概率是4%?，F(xiàn)有一人用此法檢驗(yàn)，結(jié)果呈陽性，求此人真正患有癌癥的概率。

解：設(shè)表示檢查結(jié)果為陽性，表示被檢查者患有癌癥，表示被檢查者沒有患病，、構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，所求為（∣）。由已知條件可得：

即若檢查結(jié)果為陽性此人患癌的概率為10.66%。

分析：如果不做檢查，抽查一人，患癌的概率為（） = 0.005；若經(jīng)過檢查，檢查結(jié)果陽性，患癌的概率為（∣） = 0.1066。從0.005到0.1066增加了將近21倍，說明這種檢查試驗(yàn)對(duì)于診斷癌癥是有意義的。但是，即使檢查結(jié)果是陽性，真正患癌的概率也只有10.66%，不必過于恐慌，要進(jìn)行進(jìn)一步的檢測。

例3：（信用問題）某商業(yè)銀行對(duì)創(chuàng)業(yè)人群提供小額貸款，某人承諾兩年內(nèi)還清貸款，否則視為不守承諾。假設(shè)我們對(duì)該人的信任度為0.7，可信的人不遵守承諾的概率為0.1，不可信的人不遵守承諾的概率為0.8。若此人兩年內(nèi)未還清貸款，求銀行對(duì)此人的信任度為多少？

解：設(shè)表示此人不遵守承諾，表示此人可信，表示此人不可信，、構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，所求為（∣）。由已知條件可得：

由此可見，一個(gè)人的信任度為0.7，若未及時(shí)還清貸款，不遵守承諾一次的情況下，信任度降為0.23，此人的信用程度大打折扣。

提出問題：如果此人之后再次提出貸款申請(qǐng)，承諾兩年內(nèi)還清貸款，銀行批準(zhǔn)。若此人兩年內(nèi)又未還清貸款，求銀行對(duì)此人的信任度變?yōu)槎嗌伲?/p>

即若此人兩次不遵守承諾，信任度將降為0.036 。如此低的信任度，以后若還想貸款很可能會(huì)遭到銀行的拒絕。此時(shí)提醒學(xué)生要珍視自己的信用記錄，做一個(gè)誠實(shí)守信的人。

讓學(xué)生繼續(xù)思考：“狼來了”的故事家喻戶曉，假如村民起初對(duì)小孩的信任度為0.8，我們認(rèn)為可信的孩子說謊的可能性為0.1，不可信的孩子說謊的可能性為0.6，問孩子第三次喊“狼來了！”的時(shí)候村民對(duì)他的信任度怎樣變化？此題的求解與例4完全類似，學(xué)生用新學(xué)的知識(shí)分析了熟悉的故事，學(xué)習(xí)興趣倍增。

4 結(jié)語

在貝葉斯公式的教學(xué)中，為了解決教學(xué)中出現(xiàn)的問題，我們對(duì)于公式的講解給出了新的嘗試，除了將公式的證明及對(duì)公式的理解講清楚之外，還將實(shí)例穿插于整個(gè)教學(xué)過程，讓學(xué)生了解貝葉斯公式在現(xiàn)實(shí)生活中的許多應(yīng)用，提醒學(xué)生要善于總結(jié)反思。通過這樣的教學(xué)方式，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，既能讓學(xué)生理解枯燥難懂的定理，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、創(chuàng)造性，讓學(xué)生能夠?qū)W以致用，取得了良好的教學(xué)效果。

注釋

① 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版[M].）北京：高等教育出版社，2008.

② 涂平，汪昌瑞.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2008.