例談高中生數學發散思維的培養策略

王鵬

【摘要】在當前實施新課標，注重培養學生素質的大環境下，開發高中學生的思維潛能，提高思維品質，具有十分重大的意義.本文以具體數學問題為例，探討了如何培養高中生數學發散思維的培養策略.

【關鍵詞】高中數學；發散思維；培養策略

一、發散問題的解法

在教學過程中，用多種方法，從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，用一題多解來培養學生思維過程的靈活性.

例1 求證：1-cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=tg θ.

證法1（運用二倍角公式統一角度）

左=2sin2θ+2sinθcosθ2cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ（sinθ+cosθ）2cosθ（sinθ+cosθ）=右.

證法2（逆用半角公式統一角度）

左=1-cos2θsin2θ+11+cos2θsin2θ+1=tgθ+1ctgθ+1=右.

證法3（運用萬能公式統一函數種類）設tgθ=t，

左=1-1-t21+t2+2t1+t21+1-t21+t2+2t1+t2=2t2+2t2t+2=t=右.

證法4 ∵tgθ=1-cos2θsin2θ，（構法分母sin2θ并促使分子重新組合，在運算形式上得到統一）

∴左=（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ=1-cos2θsin2θ=右.

證法5 可用變更論證法.只要證下式即可.

（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1-cos2θ）（1+cos2θ+sin2θ）.

證法6 由正切半角公式tgθ=1-cos2θsin2θ=sin2θ1+cos2θ，利用合分比性質，則命題得證.

通過一題多解引導學生歸納證明三角恒等式的基本方法：（1）統一函數種類；（2）統一角度；（3）統一運算.

一題多解可以拓寬思路，增強知識間聯系，學會多角度思考解題的方法和靈活的思維方式.

二、發散問題的結論

對結論的發散是指確定了已知條件后沒有現成的結論.讓學生自己盡可能多地探究尋找有關結論，并進行求解.

例2 已知：sinα+sinβ=13 （1），cosα+cosβ=14 （2），由此可得到哪些結論？

讓學生進行探索，然后相互討論研究，各抒己見.

想法一 （1）2+（2）2可得cos（α-β）=-263288.（兩角差的余弦公式）

想法二 （1）×（2），再和差化積：sin（α+β）[cos（α-β）+1]=112.

結合想法一可知：sin（α+β）=2425.

想法三 （1）2-（2）2再和差化積：2cos（α+β）[cos（α-β）+1]=-7144

結合想法一可知：可得cos（α+β）=-725.

想法四 （1）（2），再和差化積約去公因式可得：tgα+β2=43，進而用萬能公式可求：sin（α+β）、cos（α+β）、tg（α+β）.

想法五 由sin2α+cos2α=1消去α得：4sinβ+3cosβ=2524.

由sin2β+cos2β=1消去β可得4sinα+3cosα=2524.（消參思想）

想法六 （1）+（2）并逆用兩角和的正弦公式：

sinα+π4+sinβ+π4=7224.

（1）-（2）并逆用兩角差的正弦公式：

sinα-π4+sinβ-π4=224.

想法七 （1）×3-（2）×4：3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0，

sin（α-θ）+sin（β-θ）=0θ=arctg43，

即2sinα+β-2θ2·cosα-β2=0.

∴α=2kπ+π+β（與已知矛盾舍去）或α+β=2kπ+2θ（k∈Z）.

則sin（α+β）、cos（α+β）、tg（α+β）均可求.

開放型題目的引入，可以引導學生從不同角度來思考，不僅僅思考條件本身，而且要思考條件之間的關系.要根據條件運用各種綜合變換手段來處理信息、探索結論，有利于思維起點靈活性的培養，也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創造力的培養.

總之，在平時的教學中，要多注意各種基礎知識間的聯系與區別，注意積累各種基本的解題技能與技巧，不斷地對零散的知識進行整合，對各種方法進行歸納，這樣才能在解題時靈活調動相關知識、方法，迅速準確地解題.