猜想—轉化—驗證培養模型思想

“平行四邊形的面積”是西師版數學五年級上冊的內容，是學生學習了面積和面積單位概念，掌握長方形和正方形面積的計算，認識了平行四邊形基本特征基礎上進行的學習。在本單元，學生先依據“轉化”的數學思想方法探究平行四邊形的面積計算公式模型，并利用該模型解決生活中的現實問題，再根據這種建模思想及方法學習后面的三角形、梯形的面積。

在教學過程中，讓學生經歷觀察、猜想、操作、討論、分析、推理等數學活動過程，體會“等積變形”、“轉化”等數學思想方法，發展學生幾何直觀能力，培養模型思想。于是我在讓學生探索新知時做了如下嘗試。

生：老師，平行四邊形有沒有面積計算公式呢？

師：這個問題問得很好！那么平行四邊形的面積公式是什么呢？下面請同學們繼續觀察這兩個圖形（方格圖中的等底等高的長方形和平行四邊形），除了面積相等外，它們之間還有什么關系呢？

生1：平行四邊形的底和長方形的長都是4厘米，平行四邊形的高和長方形的寬都是2厘米，長方形的面積和平行四邊形的面積都是8平方厘米。

生2：平行四邊形的底與長方形的長相等，高與長方形的寬相等，它們的面積也是相等的。

師：大家同意嗎？

生（齊）：同意！

師：那么誰能根據這些信息大膽地猜想一下，平行四邊形面積的計算方法？

生1（猜想1）：長方形的面積等于長乘寬，也就是相鄰兩邊的乘積，所以我認為平行四邊形的面積公式也應該是相鄰兩邊的乘積。

（板書：平行四邊形的面積=相鄰兩邊的乘積）

師：這個猜想對不對呢？我們一起來驗證。

（教師用一個活動的平行四邊形演示驗證。）

師：看來，這個猜想不正確（在公式的等號上畫上斜杠）。那誰還有不同的猜想呢？

生2（猜想2）：我認為平行四邊形的面積等于底乘高。

師：能說說你的理由？

生2：因為長方形也屬于平行四邊形，它的長就是平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高，因此我認為平行四邊形的面積等于底乘高。

師：我理解你的意思了，長方形是一種特殊的平行四邊形，由此你根據長方形的面積公式得出平行四邊形的面積公式，這是由特殊情況推出一般情況，想法很不錯。

生3：我也認為平行四邊形的面積等于底乘高。

師：談談你的看法。

生3：剛才對比時我發現長方形的長、寬和平行四邊形的底、高相等時，它們的面積也相等。而長方形的面積等于長乘寬，所以我想平行四邊形的面積等于底乘高。

（板書：平行四邊形的面積=底×高）

師：看來同學們比較同意這個猜想，但這個猜想到底對不對呢（等號上方畫上問號）？猜想終歸是猜想，這需要我們用科學的方法加以證明。下面請同學們借助手中的長方形卡片、平行四邊形卡片（兩張卡片底、高相同）、剪刀等學具分小組想辦法驗證這個猜想。（小組合作，教師提出相關要求。）

師：誰愿意把你們小組的驗證方法說給大家聽聽？

生1：我們是把平行四邊形變成長方形來驗證的。

師：為什么這樣想？

生1：因為我們剛才發現當平行四邊形的底和長方形的長相等，高和寬相等時，這兩個圖形的面積相等。

師：接著說。

生1：我們先從平行四邊形的一個頂點畫一條高，再沿高剪出一個直角三角形和一個直角梯形，通過移動拼成一個長方形。

師：哦，我明白你們的想法了，你們利用了轉化的方法，也就是（師課件演示學生的方法）沿著平行四邊形的一條高剪開，把平行四邊形轉化成一個長方形。那誰能說說，平行四邊形轉化成長方形后，什么變了？什么沒變？

生（齊）：形狀變了，面積沒變。

師：非常正確！轉化后，長方形的長、寬分別與平行四邊形的底、高有什么關系？

生1：長方形的長與平行四邊形的底相等，寬與原來平行四邊形的高相等，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：有不同意見嗎？

生2：我們的方法和第二組同學的差不多。我們是這樣驗證的：我們也是畫出平行四邊形的一條高，沿這條高把它剪成兩個直角梯形，把一個直角梯形移到另一邊，正好拼成一個長方形。

師：老師聽明白了，你們是這樣做的……（多媒體演示學生的操作方法）。

生3：我們小組是把長方形與平行四邊形重疊起來比，發現平行四邊形一邊多了一個小三角形，另一邊又少了一個三角形。

師：把你們的做法給大家看一看。（生一邊演示一邊說明方法。）

師：你們的方法和第二組有很多相似之處，這兩個小三角形你們有什么發現？

生3：我們發現2個三角形一樣大，并且是直角三角形。

師：這兩個三角形一樣大，你們就把其中的一個三角形補在另一個三角形旁邊。

（用多媒體演示重疊、剪拼過程。）

師：你們有什么發現？

生（齊）：拼成了一個長方形。

師：大家聽明白了嗎？

生（齊）：聽明白了。

師：剛才幾個小組的思路盡管有所不同，但割補轉化的方法都對。實際上都是把平行四邊形沿一條高剪開，將平行四邊形轉化成一個長方形來進行驗證，這樣我們就驗證了猜想，平行四邊形的面積=底×高（擦去等號上的“？”）

【教學反思】

“模型思想”是《數學課程標準（2011年版）》提出的十大核心概念之一，也是小學數學三大基本思想之一，這充分說明了模型思想在數學教學中的重要地位，同時也給數學教學提出了新的要求與挑戰。本節課我充分利用教材上的素材來探索平行四邊形面積計算公式，在學習過程中，以長方形面積計算為基礎，以圖形內在聯系為線索，利用“重疊”、“轉化”等方法，通過看一看、想一想、做一做、說一說，讓學生經歷觀察、猜想、實驗、推理、驗證等感知活動，在實踐中推導出平行四邊形面積計算的公式，培養學生的模型思想及建模、用模能力。

在以舊引新的過程中，學生的好奇心和積極性得到了充分的調動。我及時引導，一是讓學生明白長方形與平行四邊形之間的異同；二是通過讓學生用數方格的方法感知平行四邊形的底、高、面積與長方形的長、寬、面積之間的關系。由此把學生引上轉化的思路上去，從而提出解決問題的猜想。

小組合作，驗證猜想。首先小組討論，提出解決方法，再通過動手比一比，畫一畫，剪一剪，拼一拼等操作，直觀地驗證猜想。與此同時也培養了學生的創新潛能，激發學生的學習興趣，學生的主體意識和合作精神得到加強。

學生通過實際操作，利用多種方法直觀形象地證明，平行四邊形剪拼成長方形后，只是形狀發生了變化而面積沒有變化，剪拼后平行四邊形的底等于長方形的長，高等于長方形的寬。這樣學生自己就明白了平行四邊形的面積等于“底乘高”的道理，從而推導出“平行四邊形的面積=底×高”。通過教學，向學生滲透了猜想—轉化—驗證的數學思想方法，極大地激發了學生學習數學的興趣，培養了學生的建模思想和建模能力。

作者簡介：

肖秀芳，女，1974年出生，重慶璧山人，小學高級教師，擅長“建模教學”研究，現工作單位：重慶市璧山區北街小學校。

注：本文系重慶市教育科學“十二五”2012年度規化課題“小學數學建模教學的行動研究”研究成果。