基于學生實際與數學本質的解題教學研究*
——一道高考題的閱卷分析與教學啟示

●金東平　　(蕭山中學　浙江杭州　311201)

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基于學生實際與數學本質的解題教學研究*
——一道高考題的閱卷分析與教學啟示

●金東平(蕭山中學浙江杭州311201)

摘要：從一道高考題的答題狀況分析入手，指出學生解題過程中存在的4重障礙.根據學生的解題過程，結合教學案例提出4個對策：理解問題——轉化問題形式，尋找策略——落實常規方法，完善策略——避開常規方法，遷移策略——捕捉問題本質.

關鍵詞：閱卷分析;數學本質;解題教學

在數學的教學過程中，總會發現這樣的現象：有些問題雖然已經多次重復訓練，再次遇到時仍有學生理不清頭緒；或者有的學生明明課上聽得很明白，可當自己獨立完成時又是一頭霧水.究其原因可能是學生對題目的解讀不到位，沒有深入理解解題過程中涉及的數學思想；也有可能是教師忽視了學生解題思維過程，一味按自己的意愿在講題，沒有引起學生的共鳴.下面筆者通過對一道高考題的批閱和講評，就“如何研究學生的解題過程，提升學生的學習智慧”與大家一起探討.

1試題呈現

例1已知函數f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值.

1)證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2；

2)當a,b滿足M(a,b)≤2時，求|a|+|b|的最大值.

(2015年浙江省數學高考理科試題第18題)

此題是含雙參的二次函數中的絕對值問題，涉及的知識點有函數的單調性和最值、不等式的性質，滲透分類討論、數形結合、化歸與轉化等數學思想.此題給人的第一感覺是形式新穎，抽象程度高，思維難度大.要想攻克它，必須具備較高的思維品質.

2研究學生的解題過程

2.1答題狀況分析

第1)小題的解題方式大致分以下4種情況：

③當|a|≥2時，

M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}=

max{|1+a+b|,|1-a+b|};

④找不準合適的對象，對其分類討論.

第2)小題的解題方式大致分以下3種情況：

①大多數學生空著，不知道從哪里下手；

②當M(a,b)≤2時，有|a|≤2，對a進行分類討論，但討論不全；

③等價轉化M(a,b)≤2，用線性規劃的知識來解決雙參問題.

研究學生答題中出現的各種情況，此題有4重障礙:

①審題環節.不能理解M(a,b)是|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值.

②語言之間的轉化.不能將M(a,b)轉化為max{|f(1)|,|f(-1)|}.

③找不到條件與所求之間的聯系.要證明不等式max{|f(1)|,|f(-1)|}≥2成立，無從下手.

④對M(a,b)≤2這一條件不能合理的轉化,提取不到合適的策略解決雙參問題.

2.2閱卷啟示

從閱卷情況看，學生的解題過程分為4個階段.

1)理解問題.首先,要明確題目的條件和目標，其次,要對條件和問題的范圍進行定位；最后，對條件和范圍進行深度解讀，也就是進行自然語言、數學語言、圖形語言之間的轉化.

2)尋找策略.要尋找模型和思想方法.尋找模型,即尋找與該問題相似(包括條件和目標相似,解題方法相似)的模型；尋找思想方法,一般是在找到已有模型的基礎上再搜索匹配思想方法,當然也可能是突然想到一個數學思想方法,然后運用到本題目中[1].

3)完善策略.在實施策略階段，學生會碰到2個問題:一是實施策略失敗，要分析問題所在，以及這個策略的優缺點；二是實施策略成功，要思考有沒有其他策略，這些策略之間有什么聯系.

4)遷移策略.在完善策略之后，仍需要再次分析:什么樣的題型需要選擇怎么樣的策略，并且這些方法能否遷移到其他題型上去.

研究每個階段學生的答題情況，有助于教師深入了解學情，有助于教師正確指導學生解題中存在的問題；有助于教師采取相應的教學策略，優化學生的解題思維，提升學生的學習智慧.

3提升學習智慧

3.1理解問題——轉化問題形式

師：M(a,b)是|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值，有以下3個層次的理解:

1)不清楚M(a,b)的含義；

3)M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}=

max{|1+a+b|,|1-a+b|}.

哪位同學能給出正確判斷并作合理解釋？

M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}=

max{|1+a+b|,|1-a+b|}.

師：非常好，能從圖像的角度解釋得很清楚.若沒有|a|≥2的條件，|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值是什么？

圖1 圖2 圖3

師：非常好！審題時要注重已知和未知條件之間的聯系，特別是“形”與“數”之間的聯系.

教學感悟數學是從形或數的角度對客觀事物進行研究的，最常用的2種語言是圖形語言和數學語言.圖形語言直觀形象，數學語言抽象嚴謹.在平時的教學中，要經常引導學生對圖形語言和數學語言之間的轉換，使學生能清楚地認識這2者之間的聯系和區別.

3.2尋找策略——落實常規方法

師：如何證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2？

生3：當|a|≥2時，

M(a,b)=max{|1+a+b|,|1-a+b|}，

需要比較|f(1)|和|f(-1)|的大小，這里有2個參數還有絕對值，不知道該往哪個方向去討論？

生4：當a≥2時，f(x)在[-1,1]上單調增函數,從而

f(1)>f(-1).

1)由f(-1)>0,得1-a+b>0,即1+b>a,從而

M(a,b)=f(1)=a+b+1>2a≥4.

2)由f(-1)≤0,得1-a+b≤0,1+b≤a,從而

①當-f(-1)>f(1)時，1+b<0，故

M(a,b)=|f(-1)|=a-(1+b)>a≥2.

②當-f(-1)≤f(1)時，即1+b≥0，故

M(a,b)=|f(1)|=1+a+b≥a≥2,

同理可得當a≤-2時也成立.

師：非常好.我們一起觀看這位同學的解題思路：碰到絕對值問題的常規方法是去掉絕對值.依據f(1)>f(-1)，需要確定一級分類討論f(-1)與0的大小.當f(-1)≤0時，需要確定二級分類討論-f(-1)與f(1)的大小.還有其他方法嗎？

生5：當a≥2時，f(x)在[-1,1]上是單調增函數.

M(a,b)=f(1)=a+b+1≥a≥2.

①當-f(-1)>f(1)時，1+b<0，故

M(a,b)=|f(-1)|=a-(1+b)>a≥2.

②當-f(-1)≤f(1)時，1+b≥0，故

M(a,b)=|f(1)|=1+a+b≥a≥2,

同理可得當a≤-2時也成立.

生6：當a≥2時，

M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}=

max{f(1),-f(-1)}.

1)當-f(-1)>f(1)時，1+b<0，故

M(a,b)=|f(-1)|=a-(1+b)>a≥2.

2)當-f(-1)≤f(1)時，1+b≥0，故

M(a,b)=|f(1)|=1+a+b≥a≥2.

師：這位同學依據圖像的特點，從整體考慮得到

M(a,b)=max{f(1),-f(-1)}，

只需一級分類討論-f(-1)與f(1)的大小，非常好!

生7:當a≥2時，f(x)在[-1,1]上是單調增函數,從而

f(1)>f(-1).

1)因為f(1)≥2,所以M(a,b)≥f(1)≥2.

2)因為f(1)<2，b<1-a≤-1，f(-1)=1-a+b≤-a≤-2,所以M(a,b)≥|f(-1)|≥2.

生8：根據f(1)=1+b+a,f(-1)=1+b-a的結構特點，不僅平方可以去掉絕對值,而且有共同的結構.由此想到下面的解題過程：

|f(1)|2-|f(-1)|2=

|1+a+b|2-|1-a+b|2=4a(1+b),

當a≥2時，

1)當b≥-1時,

M(a,b)=|f(1)|=|1+a+b|=1+a+b≥a≥2；

2)當b<-1時,M(a,b)=|f(-1)|=|1-a+b|=a-1-b>a≥2.同理可得當a≤-2時也成立.

師：生7，生8分類的角度特別、層次清晰，非常棒！

師：縱觀以上各種方法，不難發現共同的策略是選擇合適的角度去掉絕對值.數學思想是分類討論，如何選擇合適的角度呢？分類討論需要注意哪些地方？

生9：此題的主要問題是比較|f(1)|,|f(-1)|的大小，依據f(x)的圖像選擇合適的角度.

生10：分類討論感覺好難，難在如何尋找標準，當我們找到標準后，層次一定要分析清楚.

師：分類討論要注意以下4點：1)在已知和未知尋找突破口；2)弄清分類的原因，找準分類的對象；3)選擇分類標準，正確作出分類;4)明確分類層次，優化分類順序.

教學感悟在教學中，要引導學生分析這些方法的共同點，讓學生意識到一類問題常規的解決方法；更要深入細致地講透這類方法的特點以及該注意的地方，必要時給學生一定的訓練，落實常規方法.同時讓學生體會到：當問題不能直接得到解決方法時，可以將問題分解成幾個部分，然后對每一部分進行分析，從而得到整個問題的解決.

3.3完善策略——避開常規方法

師：此題還有其他方法嗎？

生11：由f(1)-f(-1)=2a，得

2M(a,b)≥|f(1)|+|f(-1)|≥

|f(1)-f(-1)|=2|a|≥4,

從而

M(a,b)≥2.

生12：假設M(a,b)<2,則

|f(1)|<2,|f(-1)|<2,

即

解得

-4<2a<4,

即

|a|<2,

與已知矛盾，結論成立.

師：觀察f(1)=1+b+a與f(-1)=1+b-a的結構特點，可得f(1)-f(-1)=2a，依據絕對值不等式的性質解決，非常棒！

生13:當a≥2時，M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{f(1),-f(-1)}，最小值在-f(-1)=f(1)時取到，故

b=-1，M(a,b)=|a|≥2，

同理可得當a≤-2時也成立.

生14：為什么最小值在-f(-1)=f(1)時取到？

師：從函數角度分析：當a≥2時，M(a,b)=max{f(1),-f(-1)}=max{1+a+b,-(1-a+b)}是雙變量的函數,并且變量a,b的地位是同等的，但依據是(1+b)±a的形式，優先選擇1+b為主元.

從而

M(a,b)≥M(a,-1)=a≥2，

同理可得當a≤-2時也成立.

從幾何角度看：|x-a|的幾何意義是數軸上的點x到a之間的距離.令x=1+b，則當a>2時，

M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}=

max{|1+a+b|,|1-a+b|}=

max{|-a+x|,|a+x|},

故

2M(a,b)≥|-a+x|+|a+x|≥2a，

當且僅當x=0時，等號取到，也就是b=-1[2].

對于雙變量問題，可以從函數角度和幾何角度來分析，要關注幾何和代數之間的聯系.

教學感悟在教學中，要引導學生從不同的角度思考問題，鼓勵學生提出自己的見解；要深入細致地化解學生的困惑.

3.4遷移策略——捕捉問題本質

對于雙變量問題，是否可以從函數和幾何這2個角度來處理呢？能否用同樣的方法來處理例1的第2)小題呢？

學生給出以下2種解法：

解法1函數角度

由題意知

因為M(a,b)≤2,所以

即

從而

當(a,b)=(-2,-1)或(a,b)=(2,-1)，得到|a|+|b|=3，且(a,b)滿足條件.

分析不管是一元函數還是二元函數，都要研究函數的定義域、解析式和值域，并通過圖像來探究函數的圖像.

解法2消元思想

由M(a,b)≤2,得

即

當|a|=2，b=-1時，|a|+|b|=3，且(a,b)滿足條件.

分析消元思想的核心是尋找2個變量之間的關系，轉化為1個變量，通過函數的性質來解決.關鍵是理清2個變量之間的關系.

教學感悟在教學中，教師不僅要引導學生捕捉問題的本質，善于分析源問題和靶問題之間的相互聯系，也要逐步培養學生的問題解決類比遷移意識和能力.

4教學啟示

教學中應研究學生的解題過程，清楚學生的困惑所在、清楚學生思考的動向、清楚如何去引導學生.以下3點啟示與同行分享：

1)在教學中，教師為學生提供數學交流機會，讓學生說出自己的解題思路和對問題的分析過程.這不僅可以提高學生的表達能力，也可以使學生清楚地知道自己的長處和不足，提升自己的解題水平.

2)數學是從形或數的角度對客觀事物進行研究的，在數學表達中最常用的2種語言是圖形語言和數學語言.圖形語言直觀形象，數學語言抽象嚴謹.若能在平時的教學中，引導學生進行圖形語言和數學語言之間的轉換，使學生能清楚地認識到這2者之間的聯系和區別，提高學生的閱讀能力.

3)許多數學問題，從表面上看，內容不同，但事實上有相同或類似的深層數學結構，可以用相似的數學方法解決.在實際教學中，教師如果能在數學解題教學中，多設計出一些一題多變、一題多解、一解多題的練習，讓學生通過比較，識別數學模型，進而總結出相應解題策略.若下次再遇到類似的數學問題時，就可以快速識別模型，并獲得先前的解題策略.

參考文獻

[1]波利亞.怎樣解題:數學思維的新方法[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?2007.

[2]葉興炎.形容樸素意在思維[J].中學教研(數學),2015(8):43-45.

中圖分類號：O122

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)05-46-05

作者簡介：金東平(1981-)，女，浙江蕭山人，中學一級教師，研究方向：數學教育.

修訂日期：*收文日期：2016-02-10；2016-03-11.