《錯題同樣值得研究》的再探*

●邱慎海　　(徐州市第三十七中學　江蘇徐州　221006)

?

《錯題同樣值得研究》的再探*

●邱慎海(徐州市第三十七中學江蘇徐州221006)

摘要：數列和不等式是高中數學中的重點知識、高考的熱點內容之一，也是完善數學思維和培養數學化能力的較好素材.求解數列和不等式的綜合問題，應合理、恰當、靈活地選用高中數學的有關知識和方法，適當換元，正確推理.

關鍵詞：等差數列;數形結合;換元法;線性規劃

筆者有幸拜讀了本刊2011年第12期王先進老師撰寫的《錯題同樣值得研究》一文(以下稱文獻[1])，欽佩王老師深厚的數學功底和刻苦鉆研的精神.此類問題是高中數學課堂教學中的常態問題，王老師抓住了3種錯誤思路的要害：對于例1，用1個反例說明了3種典型解法的錯誤；用2個特例說明了結果不能用統一形式表示[1].筆者認為有幾個問題值得商榷：1)原文指出3種錯誤解法,解的是前面條件的充分不必要條件，而不是充分必要條件，但王老師對例2的解答是否有類似的錯誤之嫌？2)原文的解法用了大量的數論知識，是否有更為簡捷又貼近《高中數學課程標準》和《高考說明》要求的解決思路和方法？3)原文指出結果不能用統一的形式表示，例1的答案到底和a1的取值有怎樣的關系呢？4)求解例2的方法是否具有一般性？[2]

對于例2，文獻[1]提供的解法分4步，簡要摘錄如下：

參考文獻

[1]劉兼,鄧曉天.數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社,2002.[2]丁福珍.“勾股分割點”盡壓群芳,獨放光彩——2015年浙江省臺州市中考卷壓軸題亮點賞析[J].中學教研(數學),2016(1):47-49.[3]陳咸存,王基一,嚴賢盟,黃偉建.幾何畫板與數學實驗[M].杭州:浙江文藝音像出版社,2003.

(1)

(2)

[18x]-[3x]=6.

由取整函數的性質，知

18x-1<[18x]≤18x，-3x≤-[3x]<1-3x，

(3)

因此

即

6≤[18x]≤8，[3x]=1，

當且僅當[18x]=7，[3x]=1時，方程(1)成立.從而7≤18x<8，1≤3x<2，故

即

筆者給出例2的解答如下：

即

設x=d，y=nd，則

(4)

圖1

畫出不等式組(4)所表示的平面區域即四邊形ABCD及其內部(如圖1)，其中

類似地，可以得到：

評注上述解法數形結合，直觀形象，簡捷方便，先確定n的值，再求出d的取值范圍，巧妙利用了換元和線性規劃等思想方法，也為例1的探究提供了思考和推理的方向.

以下筆者對例1進行探究：

即

設x=d，y=nd，則

(5)

圖2

畫出不等式組(5)所表示的平面區域即四邊形ABCD及其內部(如圖2)，其中

由a1<0，得

于是

故必存在n，

(注：以上[x]表示不大于x的最大整數.)

更一般地，可以研究以下問題：

例3在非常數等差數列{an}中，若a1?(p,q)，能否恰有r(其中r>1,r∈N*)項落在區間(p,q)(其中p

說明：1)在常數等差數列{an}中，不可能恰有r(其中r∈N*)項落在區間(p,q)(其中p

以下分a1≤p和a1≥q這2種情況討論：

1)若a1≤p，則d>0.設數列{an}中可能落在區間(p,q)內的最小項為an+1，則

即

設x=d，y=nd，則

(6)

由p1，得

圖3

畫出不等式組(6)所表示的平面區域即四邊形ABCD及其內部(如圖3)，其中

2)若a1≥q，則d<0.設數列{an}中可能落在區間(p,q)內的最大項為an+1，則

即

設x=d，y=nd，則

(7)

由p1，得

畫出不等式組(7)所表示的平面區域即四邊形ABCD及其內部(如圖4)，其中

圖4

在以上每一種情況中，只要在圖4中求出每一條直線y=nx與四邊形ABCD邊界的交點，即可求出每一個n值對應的d的取值范圍，再求出它們的并集即得結果.

故在非常數等差數列{an}中，若a1?(p,q)，則總有r(其中r>1,r∈N*)項落在區間(p,q)(其中p

[1]王先進．錯題同樣值得研究[J]．中學教研(數學)，2011(12)：23-25．

[2]李玉琪,李家俊．數學方法與解題方法論[M]．徐州：中國礦業大學出版社，1993：264-270．

[3]閔嗣鶴,嚴士健．初等數論[M]．北京：高等教育出版社，1982：18．

中圖分類號：O12

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)05-32-04

作者簡介：邱慎海(1976-)，男，江蘇沛縣人，中學高級教師，研究方向：數學教育.

修訂日期：*收文日期：2015-12-31；2016-02-28.