“任意角的三角函數”一節的教材分析及教學建議

黃德祥

“任意角的三角函數”一節是人教版高一數學（下冊·必修）第四章第3節的內容.筆者根據自己的教學實踐，談談對該節的教材分析及教學建議，僅供參考。

一、教材編寫特點

教材的編寫是以銳角三角函數為基礎，角的概念的推廣為前提，利用平面直角坐標系為工具定義了任意角的正弦、余弦、正切函數，并利用與單位圓有關的有向線段研究了正弦、余弦、正切函數的一種幾何表示——正弦線、余弦線、正切線；然后定義任意角的余切、正割、余割函數，研討了正弦、余弦、正切函數的定義域，用例1、例2鞏固任意角的三角函數的概念；最后研究正弦、余弦、正切函數值在平面直角坐標系中的各象限內的符號及“終邊相同的角的同一三角函數值相等”這一公式（即公式一），并給出了3個例題（例3、例4、例5）加以鞏固。

二、教學目的、重點、難點及關鍵

1、教學目的。本節教學目的是：掌握任意角的正弦、余弦、正切函數的定義，了解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；了解余切、正割、余割函數的定義；掌握正弦、余弦、正切函數的定義域和這三種三角函數值在各象限內的符號；掌握公式一及其應用.

2、教學重點。任意角的正弦、余弦、正切函數的定義及其定義域，函數值在各象限內的符號、公式一及其應用是本節的教學重點。

3、教學難點。如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用它們的幾何形式表示出來，是學習本節的難點所在。

4、教學關鍵。掌握單位圓的概念，了解三種線段的正、負與坐標軸正、反方向之間的對應及三種有向線段（的數量）與三種三角函數值之間的對應是解決本節難點的關鍵.

三、教學建議

1、課時劃分與內容安排。本節教學建議用3課時完成，并且對教材內容順序作適當的整合，具體情況如下。

第一，第1課時及教學內容。以銳角三角函數、角的概念的推廣等知識為生長點，以平面直角坐標系為研究工具，一氣呵成地定義了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函數；并研究正弦、余弦、正切函數的定義域；最后講解例1、例2加以鞏固。

第二，第2課時及教學內容。根據任意角的三角函數的定義，研究六種三角函數值在平面直角坐標中各象限的符號及“終邊相同的角的同一三角函數值相等”（即誘導公式一），最后講解例3、例4、例5加以鞏固。

第三，第3課時及教學內容。根據任意角的三角函數的定義，引入單位圓的概念，在單位圓中研究正弦、余弦、正切函數的一種幾何表示——三角函數線（這里僅研究正弦線、余弦線和正切線），由于教材中設有相應的例題，建議補充適量例題加以鞏固。

2、案例呈現。根據不同班級學生的實際情況，以下案例可供選擇。

案例1：已知角的終邊上一點P（x，-2）（x≠0），且cos，求sin 和tan的值.

解題分析：由r =|OP|=.由三角函數的定義有：cos=，∵x∴.=3，∴x=±.當x=時，點P（，-2），此時sin=，tan=；

當x=-時，點P（-，-2），此時sin=，tan=.

點評：嚴格按照任意角的三角函數定義進行示范，重視數學符號語言的應用及分類討論思想的滲透.

案例2：sin2·cos3·tan4的值（ ）.

A大于0 B小于0 C 等于0 D不能確定

解題分析：∵sin2>0， cos3<0，tan4>0，∴sin2·cos3·tan4<0， ∴選B.

點評：重視弧度制下，任意角的三角函數值在各象限的符號.

案例3：函數y=

的值域是（ ）.

A﹛-2，4﹜； B﹛-2，0，4﹜

C﹛-2，0，2，4﹜；D﹛-4，-2，0，﹜

解題分析：先求出該函數的定義域為﹛x|x≠ ﹜；再用分類分類討論的思想，按角所在象限討論相應的三角函數的符號，從而脫去絕對值符號，當x為第一象限角時，y=4；當x為第二象限角時，y=-2；當x為第三象限角時，y=0；當x為第四象限角時，=-2. ∴ 函數的值域為﹛-2，0，4﹜. 選 B.

點評：值域也可用列舉法表示。

案例4 ：解不等式sinx≥ （0≤x≤2）.

解題分析：由于正弦線在單位圓中是用方向平行于y軸的有向線段來表示.因此，先在y軸的正半軸上取一點P使得|OP|=，恰好表示角x的正弦值sinx=.作x軸的平行線交單位圓于P1、P2（如圖1），在〔0，2〕內，OP1、OP2分別對應角、的終邊，要使sinx>，只需將弦P1P2沿y軸正向平移，使OP1與OP2所掃過的范圍即圖中的陰影部分即為所求.

∴原不等式的解集為[、].

案例5：若<<，則sin，cos，tan的大小順序為______（用“<”連接）.

解題分析：如圖2所示，在單位圓中作出的正弦線MP、余弦線OM、正切線AT.

∵OM

點評：師生共同研討此結論后，如“sin750，cos750，tan750的大小關系是（用“<”連接）這種題目便迎刃而解了！

案例6：已知0

解題分析：如圖3，設角x的終邊與單位圓交于點P﹝xp，yp﹞，單位圓交x軸的非負半軸于A（1，0），過點P作PMOA于M，過點A作單位圓的切線交OP的延長線于T，連結PA.

∵S△OAP =|OA||MP|，

Slr =，

而S

點評：該案例的引入，不僅使三角函數線及相關知識得到綜合的應用，而且使數形結合的思想在潛移默化中滲入學生的腦海。

3、注意引導學生歸納總結。由于本小節內容在教材中具有承上啟下的作用，本節有許多結論易于（也值得）歸納、總結.例如：關于六種三角函數值在平面直角坐標中的各個象限的符號可歸納為：“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”——即第一象限角的六種三角函數值全部為正，第二象限只有正弦（余割）為正；第三象限只有正切、余切為正，第四象限只有余弦（正割）為正。又如：0