利用數學建模思想 提高數學應用能力

任玉良

摘要：教育部2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗稿）》把數學建模納入了內容標準中，明確指出“高中階段至少應為學生安排一次數學建模活動”，這標志著數學建模正式進入我國高中數學，也是我國中學數學應用與建模發展的一個里程碑。當前課改新觀點指出：讓學生了解數學的實際應用，從而激發學生學習數學的興趣。本著“以學生為中心，以問題為主線，以培養能力為目標”的指導思想，特立專題“數學建模活動課程的實踐研究”。

關鍵詞：數學應用問題；建模研究

中學階段，從考試中反映出學生在解決應用問題時困難較大，對所學知識不能靈活應用；而且學習過程中，學生對于統計與概率、數列、線性規劃等應用性內容不能充分理解，僅停留在死記硬背，避重就輕的層面。迫于傳統觀念的束縛和升學考試的壓力，重書本知識傳授，輕實踐能力培養；重學習結果，輕學習過程；重教師的講授，輕學生的探索；重視考試成績，忽視整體素質提高等弊端依然在教學實踐中普遍存在，從而使學生學習數學的積極性減弱，理論聯系實際應用意識、獲取信息和資料的能力、創新能力等明顯下降。

新課程倡導民主、開放的課程理念。在數學教學活動中，教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分參與數學活動的機會，有效提高學生學習數學的興趣，并培養學生的理論聯系實際應用意識，獲取信息和資料的能力，創新能力等。

新課標下新穎的數學建模教學模式應運而生，可以解決上述問題，這也是我們數學教師值得探索的課題。本課題以新課程的課堂教學方式改革為背景，運用數據分析、模型分析、對比檢驗等方法，對建模教學進行探討性研究。因此在呼喚“素質教育”的今天，數學建模活動課程的實踐研究更是迫在眉睫。

一、創設情景教學，體驗數學建模

例1、假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案一：每天回報40元； 方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0 .4元，以后每天的回報比前一天翻一番。

這是一個典型的利用數學建模解決實際問題的例子，所謂數學建模的確切含義尚無定論，但專家們比較趨于一致的看法就是將實際問題中事物的內在聯系與變化抽象成數學語言，構建適當的數學關系（如公式、函數、方程或圖形），使原來的問題情境轉化為易于解決的數學問題的一種數學思想.用于解決實際問題時要注意兩個步驟：一是建模（建立數學模型），二是解模（運用有關知識求解數學模型）.而高中學生由于掌握的數學知識非常有限，所能學到的數學模型也不多，但數學建模作為一種重要的數學思想方法，高中學生是非常有必要去了解它重要性，知道它的作用，逐步形成數學建模意識，并能養成用數學建模去解決一些實際問題，提高數學應用能力.當然，一個人意識的形成不是一朝一夕的，需要經過長時間的培養和強化，培養學生的建模意識也一樣，需要教師在平時的課堂教學中不斷地向學生滲透，并進行適當的強化訓練，在教學中，教師可利用現行的數學教材，有針對性地研究在各個教學章節中可引入哪些數學基本模型，且創設與學生已有的數學認識發展水平相適應的問題情境，讓學生體驗如何應用數學建模的方法來解決實際問題 .

二、注意掌握策略，把握數學建模

解決實際應用問題的步驟是：第一步：審題弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型；第二步：建模在細心閱讀與深入理解題意的基礎上，引進數學符號，將問題的非數學語言合理轉化為數學語言，然后根據題意，列出數量關系，建立函數模型.這時，要注意函數的；第三步：求模運用數學方法及函數知識進行推理、運算，求解數學模型，得出結果；第四步：還原把數學結果轉譯成實際問題作出解答，對于解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，使其符合實際背景。

三、通過實際應用，體會數學建模

在學習了一個知識點后指導學生用以建立相關的數學模型來解決實際問題，通過解決實際問題使學生掌握相關類型的建模方法，為他們今后能主動用數學的意識、方法、手段處理問題提供知識儲備，增加數學建模的經驗 使學生產生明顯的意識和情感.中學數學中常見的數學建模類型大致有以下幾種：

1、函數模型。在生產生活中普遍存在成本最低、利潤最高、產出最大、效益最好、用料最省等應用問題，可以歸結為函數的最值問題，常常建立函數模型來求解.

例2、某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產一臺儀器需增加投入

100元，已知總收益滿足函數：

，其中x是儀器的月產量。

（1）將利潤表示為月產量的函數f （x）。

（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？

（總收益=總成本+利潤）

函數作為研究現實世界中變量之間關系的的模型，對于高中學生來說是比較抽象和難懂的，但是在解決實際問題時很有用，所以，教師在教學中一定要注重函數基礎知識的落實，注重函數與現實生活的結合.使學生具有扎實的基礎知識用以建模來解決實際問題

2、方程或不等式。在實際生活和生產中常出現有關行程、路程、工程、統籌安排、最佳決策、最優化問題等方面的應用題可建立方程或不等式模型求解

例3、設有兩座鐵礦山A、B，另有三個煉鐵廠甲、乙、丙需要礦石，各礦日產量和各廠日需量及對應的運價（元）如表5.18給出，問怎樣調運送礦石才能使總費用最小？

鐵礦山 煉鐵廠 產量

甲 乙 丙

A 6 9 12 60

B 1 3 3 45

礦石需求量 50 30 25 105

方程和不等式是高中數學兩個最基礎的知識點，也是兩個很重要的數學模型，很多的實際問題都可以用這兩個數學模型來解決

3、三角模型。用三角函數的知識能確定安全范圍內所滿足的條件，如：河寬、山高、建筑物的高度測量等，特別是在以方位為基準建立坐標系時的有關計算問題的解決中，非常有用

例4、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=. 求A、B兩點的距離（精確到0.1m）.

三角函數主要是對三角形的邊角關系進行研究，在涉及到三角形的邊角關系的實際測量問題時，建立三角模型，利用邊角轉換進行計算得到所需的數據，在解決實際問題時往往有特別好的效果.

4、統計概率模型。統計、概率與現實生活密切聯系，模型很多，學生可以通過實踐活動來學習數據處理的方法，建立相應的數學模型，并進行推斷和預測，為相關決策提供依據和參考

例5；在一批產品中80%的合格品，驗收這批產品時規定，先從中任取一個，若是合格的就放回去，然后再取一個若仍為合格品，則接受這批產品，否則拒收。求（1）驗收第一個產品為合格品且第二個產品為次品的概率？（2）這批產品被拒收的概率？

統計和概率模型可從看似雜亂的數據整理出所需要的信息，并解決實際問題，讓學生體驗到數學在解決實際問題中的威力，激發他們學習數學的興趣和積極性.

5、數列模型。現實生活中存在很多的數列模型，讓學生充分感受到數列是來源于生活反映現實生活的模型。

例6.某家用電器一件現價2000元，實行分期付款，每期付款相同，每期為一月，購買后一個月開始付款，每月付款一次，共付12次，購買后一年還清，約定月利率為0.8%，按復利計算，那么每期應付款多少？

在實際問題中，若明顯含有或隱含等量、等額、均勻變化等含義的關鍵詞和語句，可以考慮用等差數列建模解決；若明顯含有隱含倍數、百分比、比率變化等含義的關鍵詞和語句，可以考慮用等比數列建模解決；

以實際問題的解決作為載體，并結合高中數學中常見的數學模型，通過建立數學模型來解決實際問題，讓學生體驗到解決數學應用題并不是無章可循.可以經過對實際問題的進行分析——將實際問題數學化——建立數學模型——經數學方法求解——回歸到實際問題——求出實際問題的解等幾個步驟來解決.讓學生在數學的學習中知道數學模型的作用，體驗數學建模的數學思想。