數形結合思想在高中數學教學的應用分析

李家金

[摘要]數形結合思想是一種將數量和圖形結合分析、研究、解決數學問題的思想方法，有利于將學生的抽象思維和形象思維有機統一起來，能夠幫助學生系統的掌握數學知識，構建學生較為完善的知識結構體系，研究數學的規律，提高他們分析問題和解決問題的綜合能力。

[關鍵詞]高中數學；數形結合思想；意義；應用

數形結合思想是一種將數量和圖形結合分析、研究、解決數學問題的思想方法，是數學研究中最為重要的思想方法，能夠將復雜的數學問題變得更加簡單有規律可循，能夠將數學的問題借助圖形進行分析，又能夠將繁瑣的幾何問題變成高度概括的代數問題，是高中數學教學的重點，有利于將學生的抽象思維和形象思維有機統一起來，能夠更好地幫助學生研究數學的規律，提高他們分析問題和解決問題的綜合能力。數形結合思想在高中數學教學中的應用非常廣，值得我們深入探究。

一、數形結合思想在高中數學集合教學的應用

集合知識是高中教學的難點，也是高一學生順利實現初高中過渡的關鍵，很多的學生一看到集合便被這些知識難住了，對數學產生了畏懼心理。高一集合教學過程中，很多教師講解起來也感到較為困難，大費周章，苦口婆心地口舌和一節課，學生還是不明白集合的概念，不知結合的意義和價值，無法體會到具體的含義和應用。初中學生接觸更多的是簡單的數學知識，他們更多的形象思維，學習到的很多數學知識都是可以直接觀看感知。此時，運用數形結合思想，通過畫圖展現已知條件，讓學生能夠一目了然。

例如，一班有50名學生，需要報名參加學校組織的甲乙丙三科的興趣學習知識競賽，有38人選擇的了甲學科，有35人選擇了乙學科，有31人選擇了丙學科，同時選擇了甲乙連個學科的有29名學生，有28名學生同時選擇了甲丙學科，有26人同時選擇了乙丙學科，有24人同時選擇了甲乙丙三門學科，請問有沒有學生一個學科都沒有選擇，有多少人？這個問題就是跟集合有關的看起來非常復雜的現實生活問題，敘述起來就非常復雜，思考起來更是頭緒繁多，如何選擇韋恩圖法來解決，通過數形結合的方式，就會變得非常簡單。如圖所示，選擇了甲乙而不選丙的有a=29-24=5（人）；選擇甲、丙而沒有選擇乙學科的學生有b=28-24=4（人）；選擇了乙、丙沒有選擇甲的有c=26-24=2（人）；僅選擇乙的有d=35-24-a-c=1（人），僅僅選擇了丙學科的學生有e=31-24-b-c=1；至少選擇了一門學科的學生是38+d+e+c=45（人）。

因此，三門學科都沒有選擇的學生有50-45=5（人）。這樣能夠把復雜的問題簡單化，將抽象問題一目了然，學生學習起來非常直觀，不僅能夠解決這個問題，更掌握了一種思想方法，以后遇到類似的問題都能借助這個方法解決。

二、數形結合思想在高中數學函數中的應用

函數是高中教學的重點，無論是三角函數、二次函數等，都具有很強的抽象性，學生理解較為困難。運用數形結合思想指導學生學習，幫助學生更為直觀地感知和理解函數圖像。很多的高中函數試題不是單一考查函數的知識，很多時候會將函數與三角形、四邊形、六邊形等知識融合在一塊，更進一步增加了試題的難度。運用數形結合思想能夠通過圖形展示，將各個條件都標到圖像中，更好地理清思路，提高解題效率。

例如，關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，如果該方程有兩個根，其中一個根在（-1，0）這個區間內，另一個根在（1，2）區間內，試求m的取值范圍。這是一道特殊一元二次方程，根據根的數量和分布情況，判斷位置元素的取值范圍。可以將這個方程問題轉化為函數問題f（x）=x2+2mx+2m+1，通過函數分析方程的根的分布問題，能夠做到一目了然。如圖：

f（0）=2m+1<0，

f（-1）=2>0，

f（1）=4m+2<0，

f（2）=6m+5>0，

所以m<-1[]2，

m∈R，

m<-1[]2，

m>-5[]6，

所以-5[]6

三、數形結合思想在三角函數教學中的應用

三角函數是中學數學中較為抽象的學習內容，學生在理解和接受上面臨著一定的困難和挑戰，這就需要中學數學教師運用較為合理的方式進行講授，靈活運用數形結合思想，并有效的滲透到中學三角函數的教學中，幫助學生能夠有圖形分析結論，找到解決的方法，借助數形結合思想來完成解題過程。

例如，已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α-β≠kπ，k∈Z），求證：cos2α-β2=c2a2+b2。

這道試題，運用數形結合思想，將在平面直角坐標性中，點A（cosα，sinα）與點B是直線l：ax+by=c與單位圓x2+y2=1上的兩個交點，所以，

|AB|2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=2-2cos（α-β）。又因為單位圓的圓心到直線的距離d=ca2+b2，根據平面幾何的知識可知，OA2-12|AB|2。

也就是1-2-2cos（α-β）4=d2=c2a2+b2。

所以cos2α-β2=c2a2+b2。

總之，數形結合思想是高中數學應該培養的主要思想，高中數學教學不僅要讓學生掌握一些知識和解題能力，更應重視學生數學思想、數學思維訓練。通過數形結合思想能夠幫助學生系統的掌握數學知識，打通知識間的相互聯系，構建學生較為完善的知識結構體系，促進學生綜合能力發展。

[參考文獻]

[1]張小軍。例談高中數學數形結合解題法教學的有效策略[J]。高中數理化。2013（20）。

[2]周雨。對高中數學數形結合思想的研究[J]。數理化解題研究（高中版）。2012（04）。