例探數形結合思想在函數中的應用

沈建軍

[摘要]數形結合，指的是依據數學問題的條件與結論二者的內在聯系，不但分析它的代數含義，同時也要揭曉它的幾何意義。從而讓數量之間的關系和空間的形式二者和諧而巧妙的聯系起來，再利用這種結合方式，去找尋結題的思路，最后使得問題解決，數形結合作為一種數學思想方法的應用大致分為兩種情形：一個是借助于數的精確性來說明形的某些屬性，或者憑借形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系。

[關鍵詞]數形結合；函數；應用

高中函數概念、性質的理解是學生學習的一大障礙，數形結合思想就是掃清這一障礙的核心方法之一，本文從以下6個方面作出相應的探究。

一、利用數形結合解決抽象函數中涉及奇偶性、對稱性、單調性、周期性的問題

例題 設y=f（x）是定義在R上的奇函數，且y=f（x）的圖像關于直線x=12對稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=。

分析 本題由于y=f（x）是抽象函數，故f（x）的函數值不好直接求解。若能聯想到奇函數的性質，畫出右圖數形結合，以數助形來解決，則簡潔明了。則可知f（0）=0，又且y=f（x）的圖像關于直線x=12對稱，所以f（1）=0，則奇函數可得：f（-1）=0，則又由對稱性知：f（2）=0同理：f（3）=f（4）=f（5）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0抽象函數問題，利用數形結合常能使我們找到解決此類問題的捷徑。

二、數形結合法求函數最值、值域問題

所謂數形結合求解最值，一般是將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然后通過圖形的屬性及數量關系進行“數”與“形”的信息轉換，把代數的問題等價性的用幾何的方法來求解，使之求解更簡單、快捷。

例題 求函數f（x）=x2+1+（x-2）2+1的最小值。

分析 通過觀察已知函數的形式與結構，不難發現這是兩個點間的距離之和，即可把原函數化為f（x）=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-1）2，原題即轉化成“已知點P（x，0），求它到兩定點A（0，1），B（2，1）的距離之和的最小值”，從而結合圖形，如圖，即可解決。原函數化為f（x）=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-1）2如圖：函數f（x）的最小值即為|AP|+|PB|的最小值。作A點關于x軸的對稱即A′點，即AP+PB=A′P+PB。

易知，當A′，P，B共線時，有最小值A′B=22即f（x）min=22

對于此題，原函數是二次根式，要求它的最值若直接用代數方法做比較麻煩，但在這兒我們根據解析式把代數問題幾何化，由圖形來解決此類問題，既容易理解，步驟又簡單。

三、判斷兩函數圖像交點的個數或函數零點的個數

求函數零點的個數是函數零點知識的常見題型，例如：給出函數，根據其定義域求函數零點的個數。這種題型之中的函數一般為一個復雜函數，解方程比較繁瑣甚至不能達到目的，所以我們常用數形結合來解這類問題，把復合方程轉化成基本初等函數相等的形式，求函數的公共解、函數圖像的交點，正確地作出圖像，從而判斷出結果。

例題 求函數y=lgx-cosx 在（0，10]上的零點的個數。

分析 這是一道典型的求函數零點、方程的根的問題。它是由兩個初等函數組成的復雜函數，利用求解方程lgx-cosx=0的根或畫函數y=lgx-cosx圖像，觀察它與x軸的交點的方法都不易實現。但若轉化成求解方程lgx=cosx的根、即求函數y=lgx與y=cosx的圖像的交點，則由復雜函數的問題轉化成了簡單的初等函數的問題，求解起來簡單易行。

函數的零點和方程的根的問題都可以采用如上做法：用“數形結合”的方法，先畫出函數的圖像，由圖像可直觀得解。

四、求函數的單調區間

例題 已知函數f（x）=x2-2|x|+2（-5≤x≤5），求出函數f（x）的單調區間并判斷在單調區間上的單調性。

分析 有絕對值的式子一般要先去絕對值，得到f（x）=x2-2x+2x2+2x+2

這時要判斷f（x）的單調性，就需要任意取x1，x2，判斷f（x1）與f（x2）的大小，但這項工作顯然很復雜，所以要結合圖形來判斷，只要畫出f（x）在（-∞，+∞）上的圖形，便可判斷函數單調性。

解 化簡f（x）=x2-2|x|+2（-5≤x≤5），

得 f（x）=（x-1）2+1，（0≤x≤5）（x+1）2+1，（-5≤x<0）

畫出函數圖像為圖； 從圖像可以看出極值點有-1，0，1，所以將圖形分為四部分，即得到了四個單調區間：

f（x）在區間[-5，-1]上是單調減函數，在[-1，0]上是單調增函數，在 [0，1]上是單調減函數，在[1，5]上是單調增函數。

從這道題可以看出借助圖形解決問題要比單純用代數知識解題容易、直觀得多。

五、比較兩數的大小

例題 試判斷0。32，log20。3，20。3三個數間的大小順序。

分析這三個數我們可以看成三個函數： y1=x2，y2=log2x，y3=2x在x=0。3時，所對應的函數值。在同一坐標系內作出這三個函數的圖像，由上至下圖像分別為y3=2x，y1=x2y2=log2x，可以直觀地看出當x=0。3時，所對應的三個點P，M，N的位置，從而可得出結論：20。3>0。32>log20。3

六、求曲邊圖形面積

例題 曲線y=x2和曲線y=x圍成一個葉形圖，其面積是 （ ）。

A。1 B。1[]2 C。2[]2 D。1[]3

分析 兩條曲線圍成的面積用微積分求出，并且是上面的函數減去下面的函數的積分。

解 兩條曲線的交點為（1，1），陰影部分的面積為S=∫10（x-x2）dx

=2[]3x3[]2-1[]3x310=1[]3。

對于曲線所圍成的不規則的幾何圖形的面積，要用微積分解答，注意積分的上限和下限，有時要看圖形是否需要切分成多塊部分求出。

我們憑著“以形助數，以數解形”的方式，讓這些復雜的問題簡單化，使抽象的問題具體化，從形的直觀和數的嚴謹兩個方面去思考問題，從而拓寬了解題思路，這是數學的規律性與靈活性的有機結合。