淺析高斯函數在高考數學中的應用

向東

[摘要]最近幾年高考命題者為了創設新穎的問題情境，考查學生知識遷移能力、臨場應變能力、創新能力，很多命題者都把目光投向了高斯函數，將高等數學里面的高斯函數作為信息題出在高考試卷上，一般都出現在選擇題或者填空題的最后幾題中，頗具難度，本文旨在介紹高斯函數的一些基本性質，通過對一些高考題的講解讓大家接觸高斯函數，感受高斯函數的魅力，幫助廣大師生備戰高考。

[關鍵詞]高斯函數；高考；應用

一、基礎知識

（一）定 義

設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數（如1=1，2。1=2，-1。6=-2）。則y=[x]稱為高斯函數，也叫取整函數。

（二）性 質

1。y=[x]的定義域是R，值域是Z。

2。對任意實數x∈R，都有[x]≤x<[x]+1。

3。對任意實數x∈R，k∈Z，都有x+k=[x]+k。

二、例題鑒賞

例1 （2010年陜西卷理科第10題）某學校要召開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表，那么，各班可推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系用取整函數y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數）可以表示為（ ）。

A。y=x10 B。y=x+310

C。y=x+410D。y=x+510

分析 本題的關鍵在于取整問題的處理，由于此題是選擇題，故可優先考慮特殊值法

解 方法1——特殊值法：若x=16，y=1，可排除C，D，若x=17，y=2，可排除A，故選B。

方法2——直接法：設x=10m+n（0≤n≤9），

當0≤n≤6時，x+310=m+n+310=m=x10，

當6

點評 本題圍繞取整函數的表達式來進行處理，我們在做選擇題的時候可以靈活的選擇用特殊值法或者直接法來處理。

例2 （2013年陜西卷理科第10題）設[x]表示不大于x的最大整數，則對任意實數x，y有（ ）。

A。[-x]=-[x]B。[2x]=2[x]

C。x+y≤[x]+[y]D。x-y≤[x]-[y]

分析 此題采用特殊值法就很容易得出答案。

解 令x=1。6，則-1。6=-2，-1。6=-1，3。2=3，21。6=2，排除A，B。

令x=y=1。6，則3。2=3，1。6+1。6=2，3>2，排除C，故答案選D。

點評 此題雖然由高斯函數的定義出發考察其一些性質，但是由于是選擇題，所以我們可以用特殊值法快速的得到正確答案

三、方法歸納

與高斯函數有關的題目都比較靈活，而且技巧性比較強，在解決高斯函數有關的問題的時候，其中比較常見的解題方法有：

1。充分利用高斯函數的定義，從定義出發來嘗試解決問題，根據高斯函數的定義，我們就會發現其實與高斯函數有關的問題，因為在不同的區間取整之后結果不一樣，所以最終都會歸結到區間討論上面來。

2。潛意識的利用高斯函數的三條性質，特別是性質（2）、（3），因為這兩條性質都是直接從定義得出來的，所以我們可以把性質（2）、（3）當做推論來用，利用這個性質工具來處理問題，常常能夠得到意想不到的結果。

3。特殊值法，利用特殊值法來解決高斯問題異常方便，在使用的時候結合估值法，比如說例2就可以用這種方法來做，優點是簡單、方便、快捷，高考是知識、能力與技巧的較量，在有限的時間內，時間決定成敗，在高考有限的時間內利用特殊值法能夠快速的選擇出正確的答案，為做其他題目留出了寶貴的時間。

四、總 結

從上面幾個高考例題來看，我們不難發現與高斯函數有關的高考命題主要是考察其基本性質，或者稍微的變形延伸一下，顯然我們在學習高斯函數的時候不能死記結論，應該從本質上去理解它，并且更加深入的挖掘其性質，最后達到舉一反三。雖然高斯函數是高等數學里面的內容，有一定的難度，但是把它作為中等或偏下難度的信息題放到高考中也是一種新穎的考察方式，考生在解題中常需要結合分類討論、轉化、化歸等數學思想，同時考察了高中生的臨場應變能力、創新能力，在高考場上大家都是平等的，這符合新課程標準。

[參考文獻]

[1]蔡明。活躍在高中的高斯函數[J]。中學教研（數學），2013，（05）。

[2]董永春。與高斯函數有關的高考壓軸題[J]。數學通訊，2012，（11）。

[3]天利全國高考命題研究中心。2009-2013最新五年高考真題匯編詳解[M]。拉薩：西藏人民出版社，2013。

[4]天利全國高考命題研究中心。2011-2015最新五年高考真題匯編詳解[M]。拉薩：西藏人民出版社，2015。