從中考一次函數(shù)應(yīng)用題解答談數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

柯賢華

【摘 要】一次函數(shù)型應(yīng)用題是中考數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一。影響初中生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主要原因是未能將所學(xué)的數(shù)學(xué)模型用于解決實(shí)際問題。由實(shí)際問題建立關(guān)于一次函數(shù)的相關(guān)模型是解決此類問題的關(guān)鍵。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；數(shù)學(xué)模型；一次函數(shù)；案例

研究近幾年的中考數(shù)學(xué)試題看出，考查聯(lián)系實(shí)際、貼近生活、用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的一次函數(shù)型應(yīng)用題成為中考數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一。但實(shí)際教學(xué)中，許多初中生，對(duì)于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題感到困難重重，難以入手，以至于在考試中不知所措，失分較多，中考成績(jī)不理想，影響了今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、影響初中生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的原因分析

影響初中生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主要原因是未注重應(yīng)用題背景的創(chuàng)設(shè)意圖，解應(yīng)用題就題論題現(xiàn)象嚴(yán)重，輕視能力的培養(yǎng)，解應(yīng)用題未進(jìn)行生活語言和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，未能將所學(xué)的數(shù)學(xué)模型用于解決實(shí)際問題，這些是我們亟待解決的問題。下面以陜西近幾年中考數(shù)學(xué)一次函數(shù)型應(yīng)用題為例進(jìn)行分析。

二、中考一次函數(shù)型應(yīng)用題解題案例與評(píng)析

（一）案例1——方案設(shè)計(jì)問題

1.題目展示（2015·陜西21題）

胡老師計(jì)劃組織朋友暑假去革命圣地延安兩日游，經(jīng)了解，現(xiàn)有甲、乙兩家旅行社比較合適，報(bào)價(jià)均為每人640元，且提供的服務(wù)完全相同，針對(duì)組團(tuán)兩日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收費(fèi)；乙旅行社表示，若人數(shù)不超過20人，每人都按九折收費(fèi)，超過20人，則超出部分每人按七五折收費(fèi)，假設(shè)組團(tuán)參加甲、乙兩家旅行社兩日游的人數(shù)均為x人。

（1）請(qǐng)分別寫出甲、乙兩家旅行社收取組團(tuán)兩日游的總費(fèi)用y（元）與x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若胡老師組團(tuán)參加兩日游的人數(shù)共有32人，請(qǐng)你計(jì)算，在甲、乙兩家旅行社中，幫助胡老師選擇收取總費(fèi)用較少的一家。

2.解法簡(jiǎn)析

分析：（1）根據(jù)總費(fèi)用等于人數(shù)乘以打折后的單價(jià)，易得y甲=640×0.85x，對(duì)于乙兩家旅行社的總費(fèi)用，分類討論，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，y乙=640×0.9x；

當(dāng)x>20時(shí)，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）；

（2）把x=32分別代入（1）中對(duì)應(yīng)得函數(shù)關(guān)系計(jì)算y甲和y乙的值，然后比較大小即可。

解：（1）甲兩家旅行社的總費(fèi)用：y甲=640×0.85x=544x；

乙兩家旅行社的總費(fèi)用：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，y乙=640×0.9x=576x；

當(dāng)x>20時(shí)，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）=480x+1920；

（2）當(dāng)x=32時(shí)，y甲=544×32=17408（元），y乙=480×32+1920=17280，

因?yàn)閥甲>y乙，所以胡老師選擇乙旅行社。

3.評(píng)析

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，利用實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)關(guān)系，特別對(duì)乙旅行社的總費(fèi)用要采用分段函數(shù)解決問題是關(guān)鍵。

（二）案例2——分段函數(shù)問題

1.題目展示（2014·陜西22題）

小李從西安通過某快遞公司給在南昌的外婆寄一盒櫻桃，快遞時(shí)，他了解到這個(gè)公司除收取每次6元的包裝費(fèi)外，櫻桃不超過1kg收費(fèi)22元，超過1kg，則超出部分按每千克10元加收費(fèi)用。設(shè)該公司從西安到南昌快遞櫻桃的費(fèi)用為y（元），所寄櫻桃為x（kg）。

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知小李給外婆快寄了2.5kg櫻桃，請(qǐng)你求出這次快寄的費(fèi)用是多少元？

2. 解法簡(jiǎn)析

分析：（1）根據(jù)快遞的費(fèi)用=包裝費(fèi)+運(yùn)費(fèi)，由分段函數(shù)，當(dāng)01時(shí)，可以求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）由（1）的解析式可以得出x=2.5>1代入解析式就可以求出結(jié)論。

解：（1）由題意，當(dāng)0

當(dāng)x>1時(shí)，y=28+10（x﹣1）=10x+18；

所以，y=；

（2）當(dāng)x=2.5時(shí)，y=10×2.5+18=43.

因此，這次快寄的費(fèi)用是43元。

3.評(píng)析

本題考查了分段函數(shù)的運(yùn)用，一次函數(shù)解析式的運(yùn)用，由自變量的值求函數(shù)值的運(yùn)用，求函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵。

三、數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

以上評(píng)析了方案設(shè)計(jì)、分段函數(shù)問題的一次函數(shù)型應(yīng)用題，近年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)還有與表格結(jié)合的一次函數(shù)型應(yīng)用題、與最值有關(guān)的一次函數(shù)型應(yīng)用題、與圖像結(jié)合的一次函數(shù)型應(yīng)用題等等。一次函數(shù)型應(yīng)用題，綜合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內(nèi)容，考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是讀懂領(lǐng)會(huì)題意，分清數(shù)量之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型。

所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的和問題，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地，概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程。

這一過程用如下圖來體現(xiàn)：實(shí)際問題→抽象為數(shù)學(xué)問題→建立數(shù)學(xué)模型→解決數(shù)學(xué)問題→得到數(shù)學(xué)結(jié)果→解釋實(shí)際問題。以上步驟可概括為三個(gè)環(huán)節(jié)：一是“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象數(shù)學(xué)問題”。這說明發(fā)現(xiàn)問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)；二是“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”。在這一步中，學(xué)生要通過分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)；三是通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問題中的意義。

模型思想的滲透是多方位的，模型思想的感悟應(yīng)蘊(yùn)含于日常數(shù)學(xué)教學(xué)之中，這是培養(yǎng)初中生建立數(shù)學(xué)模型的宗旨。