讓實驗之光在數學課堂綻放

任環

摘要：“數學實驗”是一種新的數學教學和數學學習模式，將數學實驗引入課堂教學，可以活躍課堂氣氛，減輕教學負擔，激發學生的探究欲望，培養學生觀察、歸納、猜想、發現的能力。本文試從介紹數學實驗的理論基礎入手，闡述將數學實驗引入數學課堂的一些做法。

關鍵詞：數學實驗；數學課堂；教師；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）03-0072

數學家歐拉曾說：“數學這門科學，需要觀察，也需要實驗。”數學實驗是一種最基本的數學學習活動，它能改變學生的數學觀和數學學習方式，在學生的數學學習中有著一種無可替代的作用。《國家基礎教育課程改革綱要（試行）》要求教學活動要“逐步實現教學內容的呈現方式，學生的學習方式，教師的教學方法和師生的互動方式的改革”，改變“過于強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息的能力，獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。數學中的許多概念、定理、公式都是通過實驗而發現的，計算、作圖、測量等活動都是數學實驗中的重要手段。通過實驗可以再現數學概念、定理、公式的形成過程，把握題目的特征，發現解題的思路，使問題獲得簡捷解決。因此，在平時的教學中，教師可以根據新教材的特點，結合教學內容，設計出有利于學生主動參與的教學方案，讓學生能以一種主動參與的學習心態和合作探究的學習方式，構建新的認知結構，使學生的數學思維能力在實驗參與過程中得到提升和發展。

一、數學實驗教學的概念與理論基礎

1. 數學實驗教學的概念

“數學實驗”一詞，最早出現在波利亞的著作《數學與猜想》《怎樣解題》中波利亞在論述數學時說：“數學有兩個側面，它是歐幾里得式的嚴謹科學……是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。”因此，數學實驗可以界定為：為獲得某種數學理論，檢驗某個數學猜想，解決某類數學問題，實驗者運用一定的物質手段，在數學思維的參與下，在典型的實驗環境中或特定的實驗條件下所進行的一種數學探究活動。實驗教學就是恰當運用數學實驗，創設問題情境，引導學生參與實踐、自主探索、合作交流，進而發現問題、提出猜想、驗證猜想和創造性解決問題的教學活動。

2. 數學實驗教學的理論基礎

皮亞杰的“建構論”認為：主體認識的實質是主體利用其原有的知識結構對外界客體進行加工、改造、整合的過程。在整個過程中，主體的認知結構也得到不斷建構和發展。現代建構意義下的數學實驗教學，應該是學生在教師的指導下輔以計算機的幫助，自主參與，具有高度的自主性、探索性的一種教學。

二、實施數學實驗教學的實踐

1. 運用實驗探索概念的形成

數學概念是客觀事物、現象的數量關系和空間形式在人們頭腦中的反映。大多數的數學概念在周圍環境中都有它們的現實原型，都可以用觀察、實驗方法發現得到。

如在引入橢圓定義前，讓學生動手操作到兩定點F1，F2的距離之和為定值大于|F1F2|的動點軌跡的實驗，而構建橢圓的定義。

實驗用品：厚硬紙板、大頭針、彩筆、橡皮筋一條、不帶彈性的細繩一條（15厘米），兩根大頭針固定，兩個大頭針之間距離為10厘米。

實驗步驟及探究問題如右圖：

（1）將橡皮筋的兩端固定在大頭針上，用筆尖將橡皮筋拉緊（不松松垮垮的即可），畫圖形，可以得到橢圓嗎？

（2）把橡皮筋換成細繩，再按上述步驟做一遍，可以得到橢圓嗎？

（3）把大頭針的距離變為15厘米，重復步驟（1）做一遍，能畫出橢圓嗎？

（4）把大頭針的距離變為16厘米，重復步驟（1）做一遍，能畫出橢圓嗎？

通過實驗操作，學生體驗橢圓的形成，理解橢圓定義中的“到定點的距離”與“定長”的關系決定橢圓的形成。在實驗操作過程中，學生手動、眼看、心想、口說多方面學習數學，快樂學習數學，這比教師用幻燈片演示的效果要好，實驗過程中，學生還可以體會到橢圓定義外的性質、如對稱性等。

2. 通過實驗，發現數學定理、公式

教科書的定理、法則、公式是數學家或者是數學教育家的發現結果，展現在學生面前的是一副經過千錘百煉“完美無缺”的邏輯體系。這種完美的形式略去了曲折復雜的發現過程。教師可以根據實際情況，運用實驗手段和方法進行“再發現”“再創造”。

例如：方程的根與函數的零點存在定理的發現教學

實驗用品：紙板與細繩制

實驗步驟：如右圖

學生把繩子的一端固定在P點，另一端在直線上Q 點或M 點，學生可以隨意擺放繩子并探究以下問題：

（1）另一端在Q點時，繩子在[a，b]上是否與x 軸一定有交點？

（2）另一端在 M 點時，繩子在[a，b]上是否與 x 軸一定有交點？

（3）把繩子看做是函數在[a，b]上的圖像，在什么情況下，函數必存在零點？

（4）如何用f（a），f（b）的值刻畫（3）中的情況？

（5）剪斷繩子，（3）中的結論是否還成立？

在此實驗中，學生積極動手、熱烈討論，用細繩代替函數圖像，學生通過對細繩的擺放實現圖像的變化，實現了抽象向具體的轉化，主動思索總結函數零點存在的條件，教師只需從旁引導學生用數學語言歸納并得到函數零點存在性定理即可。引入了數學實驗充分調動了學生數學課的積極性，并使得全體學生能活動起來，并在實驗中體驗數學理論的形成。數學實驗拉近了教師與學生的距離，也拉近了數學與學生的距離，數學實驗使數學課更有魅力，更吸引學生。

3. 借助數學實驗，引導探究學習

新教學大綱要求“教師要依據教材，又不囿于教材，把學生的知識、經驗、生活世界作為重要的課程資源，鼓勵學生自主學習。在教學過程中，要充分發揮學生的自主性和創造性，鼓勵學生即興創造、超越預設的教學目標。”借用數學實驗，不僅能打破沉寂的課堂氣氛，讓課堂教學有聲有色；還可以提高學生的學習興趣，激發學生的探索精神，培養學生運用數學的意識和創新能力。

案例：已知a，b，m∈R+，a 。

常規的做法是通過作差來證明，這樣單純的就題證題不僅使學生感到枯燥乏味，同時也很難加深同學們的印象。我們可以拿一杯NaCl溶液（濃度為 ）和一小瓶NaCl，然后讓學生想如何把這些物品和這道題目聯系起來。如果學生不能想到，我們可以做如下實驗：往NaCl溶液（濃度為 ））中加一些（m克），如果學生還是想不到我們可以提示一下：在這個過程中，溶液的濃度發生了什么變化？學生的思維就很容易被激活，與案例中的不等式進行聯系。在上面問題的基礎上接著提出問題：若a1，a2，b1，b2∈R+且 < ，試比較 ， 和 的大小。學生在這時思維已被激活，很快想到可以和如下實驗進行聯系：兩杯質量相同，濃度分別為 ， 且 < 的NaCl溶液混合，混合后的溶液的濃度和混合前兩瓶溶液的濃度比如何？學生很快就可以得出： <混合后濃度 ，而混合濃度= ，于是我們就可以得出 < < 。由實驗的過程，學生又可以得出以下命題：若a1，a2，b1，b2∈R+，且 < ，則 < < 。靈活的引入，使學生領略了探索未知的甜頭，同時也加深了同學們的記憶。（86%的同學在一星期后能清楚地記得這兩個不等式）

4. 利用實驗，探索解題途徑

有不少數學問題，學生解答起來不知從何入手，但如果我們能夠合理創設一些實驗，通過實驗為學生解決問題提供一些直觀的思維背景，則常常能使學生發現數學問題的真諦，進而為找到問題解決的思路，為提出猜想提供直觀的依據。

如：已知a、b是方程μ2+ ·μ- =0的兩根。求證：不論θ為何值，過A（a，a2）、B（b，b2）的直線恒切于一定圓。

分析：過A、B的直線方程為y=（a+b）x-ab. ①

由韋達定理知a+b=- ，ab=- ，于是①

變形為

x·cosθ+y·sinθ=1. ②

要證②切于定圓，但因定圓未知，以下思路不明。

為此，不妨引導學生從實驗開始！不妨取θ=0， ，π， ，則分別得到特殊的直線x=1，y=1，x=-1，y=-1，它們恰好圍成一個正方形，據此不難猜測所找的定圓即圓心在原點的單位圓。

三、結束語

數學學習過程充滿著觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等豐富多彩的數學活動，而數學實驗是其中的一種最基本的數學學習活動。數學實驗體現出了數學知識感性的一面，并把數學學習從感性推向理性，讓學生真切地體驗如何“做數學，如何實現數學知識的“再發現”，并從中感受數學的力量。當數學實驗走進數學課堂，數學將不再抽象，不再難懂，數學因實驗而簡單，學生因實驗而快樂。因此，把數學實驗引入教學課堂，引入學生的數學學習中，是一種必然趨勢。

（作者單位：①浙江省浙江師范大學 321001；②浙江省蒼南中學 325800）