一道最值問題解決的思維三步曲

周寅鋒

【摘要】現代教育觀點認為，數學教學是數學活動的教學，即思維活動的教學，而思維能力是一切能力的核心.但是，在日常教學中，我們常常發現有些同學在數學思維上會出現種種缺陷，從而導致在學習過程中形成各種錯誤的認識和理解.利用均值不等式求最值，是高中數學的一個重點，而靈活使用均值不等式卻成了一個難點.本文通過剖析一道典例的錯解與多解及應用，與同仁一起體驗數學思維活動的教學過程.

【關鍵詞】學習；解題；思維

例 設x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

錯解 由x>0，y>0，得1=1x+9y≥29xy=6xy，故xy≥36，當且僅當y=9x時取等號，所以x+y≥2xy≥236=12.當且僅當y=x時取等號.

所以，x+y的最小值為12.

剖析 在運用均值定理求最值時，必須考慮等號成立的條件是否具備，但當對同一個問題兩次或多次運用均值定理時，還要考慮這些等號能否同時成立，或者這些等號能否傳遞.即錯解須滿足條件y=9xy=x，即x=y=0，這與已知條件矛盾.故本錯解中的等號不能同時成立.

點評 均值定理在不等式的證明、求函數的最值和解決實際問題中應用非常廣泛，應用這個定理求最值時，應滿足“一正、二定、三等”三個條件，即各項或各因式均為正；和式或積式為定值；各項或各因式能取得相等的值；且缺一不可.

在學習數學的過程中，往往一道題會有多種解答方法，不同的分析方式會使解題的過程不一樣，但整體的思考方向是一樣的.學習數學最重要的就是掌握思考問題的方法.有了正確的思路，最終才能解決問題.在學習中應養成多角度思考問題的習慣，這樣才能發散思維，培養思維的靈活性和創造性結合本題特點，現介紹幾種解法供同仁們參考.

思維一 考慮錯解因兩次使用均值不等式，導致等號不能同時取到的錯誤，通過消元最終達到減少使用均值不等式的次數.

點評 該解法充分體現了方程思想的運用，引入參數t后，根據條件和結論之間的內在聯系，將問題轉化為“方程（組）必有正實數解的問題”來處理，回避了構造代數式，再運用均值定理過程，顯然也是一種可取的解法.