用幾何畫板探究指數函數的圖像與性質

高圣潔

【摘要】通過人教A版教材高中數學必修一第37頁用幾何畫板畫出函數圖像y=bx2的啟發，本文借助幾何畫板這個教學軟件，以指數函數為例，引導學生快速作出指數函數f（x）=ax（a>0，a≠1）的圖像，并且在同一坐標系下作出多個指數函數的圖像，然后觀察指數函數f（x）=ax（a>0，a≠1）的圖像隨a的變化而發生怎樣的變化，比較各指數函數圖像的形狀和位置，從而得到指數函數f（x）=ax（a>0，a≠1）的性質，然后再利用指數函數的性質來解決關于指數函數所涉及的問題.

【關鍵詞】幾何畫板；指數函數；指數函數圖像

指數函數是在學生系統學習了函數概念，基本掌握了函數的性質的基礎上進行研究的，它是重要的基本初等函數之一.作為常見函數，它是函數概念及性質的第一次應用，一方面它可以進一步深化學生對函數概念的理解與認識，使學生得到較系統的函數知識和研究函數的方法，另一方面也為今后進一步熟悉函數的性質和作用，研究對數函數以及等比數列的性質打下堅實的基礎，同時它在生活及生產實際中有著更廣泛的應用，所以指數函數應重點研究.然而，高中階段一提起函數，學生們就充滿了恐懼，再談及函數的性質，更是感到深深的不安，尤其是指數函數與對數函數的圖像與性質，同學們掌握的更差.事實上，追根溯源，還是對于指數冪的運算不熟悉，對于指數函數圖像形成的過程感覺模糊.而幾何畫板具有豐富的圖像功能，幾何畫板能迅速地畫出任何一個初等函數的圖像.因此，在研究指數函數的性質這一教學環節中，我們可以借助幾何畫板這個數學教學軟件，迅速、便捷地畫出指數函數的圖像.而學生由于親自動手操作，也從一個旁觀者和聽眾變成主動參與者，親身體驗了知識的產生，發生和發展過程，清晰地了解到知識的來龍去脈，并且在腦海中也形成了生動、形象的畫面，這些都有助于幫助他們領會和把握知識之間的內在聯系，從而更好地學會指數函數以及它的性質.

一、用幾何畫板畫出指數函數f（x）=ax（a>0，a≠1）的圖像.

1.建立畫板文件

（1）新建一個畫板，選擇“文件”菜單中的“保存”命令，輸入文件名“指數函數及其性質”，保存其文件；

（2）打開幾何畫板，選擇“繪圖”菜單中的“定義坐標系”命令，繪圖區出現帶網格的直角坐標系，選擇繪圖中菜單中的“隱藏網格”命令，將網格隱藏掉.

2.建立參數a的動態系統

（1）用點工具在y軸上繪制1個點A；

（2）同時選中點A和x軸，選擇“構造”菜單中的“平行線”命令，構造出過點A且與x軸平行的直線；

（3）用“點工具”在平行線上繪制一個點B，改其標簽名為a，選中平行線，選擇“顯示”菜單中的“隱藏平行線”命令，隱藏平行線；

（4）選中點A、a，選擇“構造”菜單中的“線段”命令，構造連接A、a兩點的線段；

（5）選中線段Aa，選擇“顯示”菜單中的“線型”命令，將線段的線型設置為粗線.保持線段的選中狀態，選擇“顯示”菜單中的“顏色”命令，將線段的顏色設置為紅色，隱藏點A；

（6）選中點a，選擇“度量”菜單中的“橫坐標”命令，度量a點的橫坐標，然后把其標簽改為a，如圖1所示.

3.建立并繪制函數圖像

（1）選擇“繪圖”菜單中的“繪制新函數”命令，打開新建函數對話框；

（2）單擊度量值“a=…”，在順次點擊對話框中的按鈕*，x，^，2，完成構造函數f（x）=ax，單擊“確定”關掉對話框，如圖2所示.

說明：拖動a點，可以看見函數的圖像隨a值的變化而產生相應的變化.

4.建立自變量與函數的對應關系

（1）用“點工具”在x軸上構造一點，度量出該點橫坐標的值，將坐標的標簽改為x；

（2）選擇“數據”菜單中的“計算”命令，打開“新建計算”對話框，單擊函數式f（x）=ax（a>0，a≠1），再單擊x橫坐標的值，計算自變量x的函數值f（x）；

（3）順次選中文本x，f（x），選擇“繪圖”菜單中的繪制（x，y）命令，繪制點（x，f（x）），將它與自變量x對應的點用虛線連接起來；

（4）選中點（x，f（x）），選擇“度量”菜單中的“坐標”命令，度量該點的坐標，如圖所示；

（5）同時選中點（x，f（x））和它的坐標，按住[shift]鍵，選擇“編輯”菜單中“合并文本到點”命令，將這個坐標動態地顯示到點（x，f（x））的位置，如圖3所示.

說明：拖動x軸上自變量對應的點，可以看見函數圖像上對應點的坐標在不停地變化，非常形象地反映了函數的動態對應關系.

例1 利用f（x）=12x的圖像，作出下列各函數的圖像.

（1）f（x+1）；（2）f（x-1）；（3）f（x）+1；（5）f（x）-1.

解 先畫出函數f（x）=12x的簡圖.

（1）把函數f（x）=12x的圖像向左平移一個單位，可得到函數f（x+1）的圖像；

（2）把函數f（x）=12x的圖像向右平移一個單位，可得到函數f（x-1）的圖像；

（3）把函數f（x）=12x的圖像向上平移一個單位，可得到函數f（x）+1的圖像；

（4）把函數f（x）=12x的圖像向左平移一個單位，可得到函數f（x）-1的圖像；如圖4.

二、利用幾何畫板探究指數函數f（x）=ax（a>0，a≠1）的性質.

1.在同一平面直角坐標系中作出指數函數f（x）=2x和g（x）=13x的圖像，如圖5.

三、結束語

指數函數是學生在學習了函數基本概念和性質以后接觸到得第一個具體函數，所以在這部分的教學安排上，我更注意學生思維習慣的養成.通過研究幾個特殊的底數的指數函數得到一般指數函數的規律，這符合學生由特殊到一般的，由具體到抽象的學習認知規律.

另外，通過多媒體教學手段，用計算機作出底數a變換的圖像，讓學生更直觀、深刻的感受指數函數的圖像及性質.學生真思考，學生的真探究，才是保障教學目標得以實現的前提，在教學中，教師通過教學設計要以給學生充分的思維空間、推理運算空間和交流學習空間，努力創設一個“活動化的課堂”才可能真正喚起學生的生命主體意識，引領他們走上自主構建知識意義的發展路徑.

總之，用幾何畫板來研究函數，它所產生的作用是巨大的，他不但可以模擬知識發生的過程，更能讓學生自己探索出公式和定理，讓學生體驗了當數學家、發明家的滋味，這也真正實現了從“學數學”到“做數學”，再到“玩數學”，更能激發學生學習數學的興趣，使數學課堂成為充滿探索性、趣味性和挑戰性的精彩世界.

特別注釋

河南省教育科學“十二五”規劃2015年度立項課題.

課題名稱：高中數學新課程中信息技術應用專欄的分析與研究

課題類別：一般課題

課題編號：[2015]-JKGHYB-0302

【參考文獻】

[1]羅永健.利用幾何畫板研究函數的性質例談[J].基礎教育論壇，2011（6）.

[2]徐東.用“幾何畫板”探究實驗一次函數圖像與性質[J]，數學學習與研究，2014（17）.