復變函數的學習方法研究

張美軍　孟憲吉

【摘要】復變函數論是數學分析的后續課程，是數學分析中關于實函數中連續，微分，積分等理論在復數域上的延續，由此學好復變函數對我們有著重要的意義.本文將從三方面論述學習復變函數的方法，分別為：一、最大限度利用數學分析已有知識，初步了解復變函數；二、找出復變函數和數學分析的不同，深刻認識復變函數；三、理解復變函數獨有的特點，整體把握復變函數.通過具體的例子與例題具體論述，幫助我們更好的把握復變函數知識.

【關鍵詞】數學分析；復變函數

【基金項目】遼寧省普通高等學校本科教育教學改革研究項目（UPRP20140526）

一、最大限度利用數學分析已有知識，初步了解復變函數

1.定 義

復變函數ω=f（z）的定義在形式上與數學分析中一元函數的定義基本一樣，但與之不同的是，復變函數的自變量和函數值均取復數，且在復數中，自變量與函數值不只遵循一對一的原則，更衍生出一對多即多值函數的定義，即一個自變量z有幾個或無窮多個函數值與之對應.

2.極 限

掌握復變函數極限的定義，首先要準確把握一元實函數y=f（x）及二元實函數y=f（x，y）的定義及兩者不同之處.復變函數ω=f（z）在形式與一元實函數y=f（x）的極限定義相似，其性質也可以平移使用.但是不同的是：對于一元實函數y=f（x）的極限：limx→x0f（x） x→x0指在x軸上x沿x0的左右兩個方向趨近x0，而復變函數ω=f（z）的極限：limz→z0f（z） z→z0要沿著從四面八方通向z0的任何路徑趨于z0.

3.連續性

對于一元實函數的三要素分別為：①f（x）在點x0處有意義 ②f（x）在點x0處有極限 ③limx→x0f（x）=f（x0） ，對于復變函數ω=f（z）的連續性也必須滿足這三要素，并且其性質與一元實函數y=f（x）連續性相似.但是由于復變函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）沿E在點z0=x0+iy0處連續的充要條件為：二元實變函數u（x，y），v（x，y）沿E于點（x0，y0）連續，由此可知，復變函數ω=f（z）連續性的證明要依靠于二元實函數連續性的證明.

4.導數與微分

由于復變函數的導數與定義形式上與數學分析中一元函數的導數定義一致，因此微分學中的幾乎所有求導基本公式及法則都可以推廣到復變函數中來.和導數的情形一樣，復變函數的微分定義形式上也與數學分析中一元函數微分定義一致，由函數ω=f（z）在區域D內可微衍生出復變函數中一個重要的定義：解析.解析函數是復變函數研究的主要對象.

5.積 分

一元實函數定義積分的思路為：分割，取值，求和，取極限，這種思路完全可以應用到復函數的積分定義上來，并且復函數定積分的計算規則與基本性質也與一元實函數基本相同.例如：復變函數積分中仍有牛頓——萊布尼茨公式，只是公式的條件要求與一元實函數的要求不同，在一元實函數中，由原函數存在定理可知：只要被積函數在積分區間上連續，都可以應用牛頓—萊布尼茨公式來求積分；而對復變函數而言，要應用牛頓—萊布尼茨公式，需要被積函數f（z）在單連通區域D內連續且處處解析時才有∫z2z1f（z）dz=F（z1）-F（z2）

二、理解復變函數獨有的特點，整體把握復變函數

學習復變函數，不僅要求學生類比已有的數學分析中的知識，做到融會貫通，更需要學生新增知識，重點把握.本部分將從復變函數f（z）的解析性，柯西積分定理，柯西積分公式三個方面論述.

1.f（z）的解析性

解析函數是復變函數研究的主要對象，它具有很多很好的性質如：無窮可微性.

（1）復變函數ω=f（z）在z0∈D處解析是指f（z）在點z0處可微，并且在該點的鄰域內每一點均可微；而w=f（z）在D上解析是指在D內的每一點都可微，從而就會出現f（z）只在一個孤立點或只在一條直線上可微，但是各點都未形成由可微點構成的圓鄰域，導致f（z）在D上不解析.

（2）解析函數的無窮可微性

函數f（z）在z平面上的區域D內解析，則f（z）在D內具有各階導數，并且它們也在D內解析.我們要注意：在數學分析中，區間上的可微函數在此區間上不一定有二階導數，更不必談高階導數.

2.柯西積分定理

對于柯西積分定理，學生須知該定理肯定了復變函數積分的值與積分路徑無關的條件（沿區域內任何閉曲線積分值為0的條件）是與被積函數的解析性及解析區域單連通性有關.

即函數f（z）在單連通區域D內解析，C為D內任一條簡單閉曲線，則∫Cf（z）dz=0.

由于柯西積分定理的全部理論是建立在兩個假設之上的：（1）所考慮的區域D是單連通區域，

（2）f（z）在D內為解析函數，所以如果兩個條件有一個不具備，一般來說定理結論不再成立.所以若在區域D內有函數f（z）的奇點，就要將這些點從D內除去，從而把多連通區域變為復連通區域，此時沿復周線外邊界積分等于沿內邊界積分之和.