數(shù)學：不妨給學生一場“邏輯的盛筵”

張鶴

北京高考試卷的命題者們是站在數(shù)學思維的高度向我們每一位中學數(shù)學教師展示他們是如何認識和理解中學數(shù)學教學的。2016年北京數(shù)學高考試題再一次向我們揭示出數(shù)學教育的目的：要培養(yǎng)會獨立思考數(shù)學問題的人、掌握解決數(shù)學問題一般方法的人、能夠享受數(shù)學邏輯之美的人。

讓學生從數(shù)學角度理解問題本質

北京高考試卷的第8題歷年都是一個考查學生邏輯思維能力的題目，它不以計算能力的考查作為命制試題的目的，而是“多考思維，少考計算”——北京卷的一大特色和亮點。這些考題的一個共同點是：提供一個問題的背景（有數(shù)學方面的，也有實際生活情境），提出一個具有探索性的問題。學生若要解答這一類問題，需要能夠在理解問題背景的前提下探索問題的規(guī)律與本質。這類問題關注的是學生理解問題、分析問題與解決問題的能力，需要學生具備研究問題的意識，需要學生的數(shù)學思維具有邏輯性，需要學生能夠綜合運用所學的數(shù)學知識解決問題。綜觀歷年的數(shù)學高考第8題，2011年理科卷考察的是平行四邊形內部的整點個數(shù)問題，文科卷則是以拋物線為背景、以三角形的面積為定值的三角形的頂點個數(shù)問題；2012年是果樹年平均產(chǎn)量問題；2013年的數(shù)學高考結合正方體，文理科分別設置了不同的數(shù)學問題讓學生去探索；2014年理科卷是成績評定問題，文科卷則是爆米花最佳加工時間問題；2015年理科卷是汽車的“燃油效率”問題，文科卷則是汽車平均油耗量問題。今年的第8題仍然注重結合實際情境考查學生的邏輯推理能力。文科試卷的第8題選擇學生熟悉的學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩為問題情境，理科試卷的第8題情境則是學生在解決概率問題中經(jīng)常遇到的摸球游戲。

可以看出，今年的北京卷第8題沒有給考生設置什么深奧的、抽象的數(shù)學背景，反而是以學生都能理解的實際問題或熟悉的數(shù)學對象作為鋪墊，簡潔地陳述問題，以便學生能夠自然地將實際背景轉化為數(shù)學問題。解決這個問題的關鍵在于學生要能夠從數(shù)學思想與觀點的高度理解問題的本質，而這正是數(shù)學教育所承擔的使命。

從第8題反觀我們當前的數(shù)學教學，不得不承認，我們的學生缺少經(jīng)歷思考問題、解決問題的過程，缺少從實際問題出發(fā)提煉出數(shù)學問題的體驗。反思我們自己編制的一些試題或練習題時，還發(fā)現(xiàn)我們缺少一種靈氣，沒能更好地讓學生從解決問題中感受邏輯思維的力量。這其實是北京高考試卷第8題帶給我們的啟示，或者說是樹立的一個追趕的目標。

讓學生建立數(shù)學學科思維

北京高考試卷的第14題關注對數(shù)學本質的考查，關注學生對數(shù)學學科思維特點的認識和把握。這七年來，北京卷的第14題一直讓我們感受到數(shù)學問題本身所帶來的精神愉悅，讓我們體會到數(shù)學教學所應該達到的境界?？梢钥闯觯衲甑?4題繼承了2010年以來的北京數(shù)學卷第14題的特點，準確把握了數(shù)學學科的思維特征與研究方法。

我們以理科的14題為例，這道題目是通過所給出的一個分段函數(shù)的性質來確定與自變量x取值有關的參數(shù)取值范圍。可以看出，題目要考查的是學生能否從函數(shù)解析式中得到函數(shù)的性質，以及是否能運用函數(shù)的性質解決問題。從對學生的能力要求來看，我們的教學要能夠達到這樣的目標：學生要有能力研究出一個確定的函數(shù)解析式的最基本的性質，并能夠把這些性質通過函數(shù)的圖象體現(xiàn)出來；如果給一個帶參數(shù)的函數(shù)解析式，也就是還沒有確定的函數(shù)解析式，學生要知道如何根據(jù)函數(shù)圖象的幾何特征去確定參數(shù)的范圍，從而確定函數(shù)的性質。學生面對明確的函數(shù)的解析式往往只會把它作為計算函數(shù)值的一個公式，沒想過通過這個解析式研究函數(shù)的性質，而對于不確定的函數(shù)解析式，對于還在變化中的函數(shù)圖象，學生遇到的困難會更大。如果我們的學生經(jīng)過近一年的復習還沒有確立研究問題的意識，還沒有掌握研究函數(shù)的基本方法，今年的第14題，包括今后的第14題，對學生而言都會是一道難題。

教師最重要的職責是讓學生學會思考數(shù)學問題并解決數(shù)學問題。而要落實這一點，就應該讓學生學會從最基本的數(shù)學概念出發(fā)去理解數(shù)學問題；從數(shù)學問題的本質上去思考數(shù)學問題；用符合研究數(shù)學問題的一般方法去解決問題。北京卷的第14題（包括解答題的函數(shù)題：理科18題，文科20題）帶給我們教師的啟示是：函數(shù)教學（包括函數(shù)復習）最重要的任務之一就是要培養(yǎng)學生研究函數(shù)性質的意識及方法。要讓學生樹立研究性質的意識，關鍵在于教師提供復習素材，在學生的復習偏離正確軌道的時候，及時地進行糾正并給出有針對性的指導。

讓學生掌握解決數(shù)學問題的基本方法

一份好的數(shù)學試卷往往把考查的重點放在考生是否真正地掌握了數(shù)學學科的思維特點、是否掌握了數(shù)學學科的思維方法和解決數(shù)學問題的基本方法上。2016年的北京高考試卷就是如此，以下結合立體幾何試題的考查特點進行分析。

這份試卷對立體幾何的考查目標非常明確，就是要檢驗考生的立體幾何的思維是否落實?？臻g想象能力不能簡單地理解為識圖能力或觀察能力，它是一種數(shù)學的思維能力，這種能力體現(xiàn)在學生對空間中幾何元素點、直線、平面及由這些基本元素所構成的空間幾何體的位置的確定。如理科試卷的第7題給出了某三棱錐的三視圖，求該三棱錐的體積。這看似是一道計算題，但是要算出這個三棱錐的體積，學生首先要知道這是一個什么樣的三棱錐。而判斷的依據(jù)僅僅是這個三棱錐的三視圖（三視圖由三個平面圖形組成，是從三個方向對空間幾何體進行投影所得到的）。學生需要從三視圖中分析三棱錐的幾何特征，也就是構成這個三棱錐的點、直線、平面的位置關系，從而得到它的直觀圖。盡管這個思維過程本身非常抽象并且具有一定的難度，但是將三棱錐的體積這樣一個非常具體的數(shù)據(jù)作為評判的依據(jù)，有效地考察了學生的思維能力。

從七年來的北京試卷看，運用三視圖來考查學生的立體幾何的思維能力一直是高考命題者們的目標。如2010年的試題，題目給出了一個長方體去掉一個小長方體之后的正視圖和側視圖，讓學生從四個選項中找到這個幾何體的俯視圖。顯然，解題的關鍵在于考生要能夠結合題目對幾何體的幾何特征的基本描述以及三視圖中的兩個平面投影圖形，抽象得出這個幾何體的直觀圖，進而找到其俯視圖。2015年的第5題與今年的第7題類似，是通過一個三棱錐的三視圖求其表面積，只不過從幾何體的特征看，今年的三棱錐的幾何特征更復雜一些而已。同樣，今年文理科的立體幾何解答題考查的都是通過一個明確了部分幾何特征與數(shù)量關系的四棱錐，讓學生在此基礎上進一步研究這個幾何體的其它幾何特征與數(shù)量關系。

一些學生在解答立體幾何題的時候，常常是匆匆掃一眼題目的條件，對所要研究的幾何體還沒有太深刻的思考就開始解答題目。由于缺乏對幾何體的整體分析，很難對所面臨的問題有一個圓滿的解決方案。這次立體幾何解答題進一步明確了立體幾何教學的方向和目標，那就是：教師應該以空間幾何體為載體，幫助學生掌握研究幾何體的基本方法：首先從圍成的空間幾何體的面去分析是什么樣的平面圖形，側面與底面具有什么樣的位置關系，側棱與底面具有什么樣的位置關系，進而分析空間幾何體中比較重要的截面與其它面之間的位置關系、幾何體的棱及體對角線之間的位置關系等。要讓學生體會到，研究空間幾何體的重要前提，是對于空間幾何體的線、面位置關系能夠進行比較細致的研究并做出準確的判斷。

通過對今年北京高考數(shù)學試卷的分析，我們得到的最深刻的感悟是：要提升高中數(shù)學課的教學質量，我們要有理性，要有邏輯，要讓我們的課堂充滿智慧。課堂教學一定要能夠揭示出數(shù)學的本質，要能夠從觀念上啟發(fā)學生去深入地、科學地思考數(shù)學問題；要讓學生能夠領悟到學習數(shù)學不是靠記憶，學得好不好與記不記得住公式?jīng)]有必然的聯(lián)系。作為教師，我們一定要清楚：要想取得好成績，需要保證每一節(jié)課的高質量；要提高學生的數(shù)學思維水平，讓學生享受數(shù)學的邏輯之美，需要保證教師教學的思維含量。