整體把握有序建構(gòu) 豐富經(jīng)驗凸顯價值

金雷杰

【摘 要】圖形面積這部分內(nèi)容可以從知識、方法及數(shù)學(xué)思想等維度進行梳理，不同圖形面積之間既有不同之處，又緊密聯(lián)系，并不斷發(fā)展和提升，需要整體把握，有序建構(gòu)。在有序建構(gòu)過程中，要找準內(nèi)容、方法及數(shù)學(xué)思想銜接的關(guān)鍵點，以學(xué)定教，不斷豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，凸顯這部分內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的價值。

【關(guān)鍵詞】圖形面積 整體思考 核心素養(yǎng) 價值凸顯

圖形面積教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，涉及內(nèi)容多，分布在不同年級。不同圖形面積知識內(nèi)容、推導(dǎo)方法及所滲透的數(shù)學(xué)思想之間既有不同之處，又緊密聯(lián)系，并不斷發(fā)展和提升。因此，教師要整體把握，遵循數(shù)學(xué)邏輯順序和學(xué)生不斷豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，統(tǒng)籌安排，抓住關(guān)鍵，凸顯這部分內(nèi)容在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的價值。

一、整體把握，有序建構(gòu)

梳理圖形面積教學(xué)中內(nèi)容、方法及數(shù)學(xué)思想在各年級教材中的安排線索如下表。

教材內(nèi)容的安排聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣。學(xué)生通過對面積的意義的學(xué)習(xí)為后續(xù)學(xué)習(xí)各種平面圖形的面積做好準備；而通過對面積單位和測量方法的學(xué)習(xí)，又直接為學(xué)習(xí)長方形、正方形的面積做好鋪墊；平行四邊形的面積學(xué)習(xí)又以長方形的面積為基礎(chǔ)，是把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形后來推導(dǎo)面積公式的；三角形、梯形、圓的面積推導(dǎo)都以轉(zhuǎn)化為平行四邊形為基本研究思路，平行四邊形的面積知識是學(xué)習(xí)這些圖形面積的知識基礎(chǔ)。這些圖形面積知識之間的關(guān)系如下圖：

這些圖形面積的研究方法也有一條明確的線索。長方形、正方形面積公式的推導(dǎo)始于測量，學(xué)生積累一定的測量經(jīng)驗后自然體會到：長方形的長是多少，表示一排可以擺多少個單位面積，寬是多少，表示可以擺多少排，由此發(fā)現(xiàn)用“長×寬”可以計算出單位面積的個數(shù)，即這個長方形的面積。對平行四邊形的研究一開始也延續(xù)用單位測量的經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)不能得到完整的面積單位，由此產(chǎn)生思維沖突，由單位面積的拼接而推廣到圖形的剪拼，把平行四邊形剪拼成一個長方形來進行研究，因此平行四邊形面積的研究方法是從測量到剪拼的一次提升，必須讓學(xué)生經(jīng)歷這一過程。三角形和梯形的面積推導(dǎo)主要是用拼組的方法，即兩個相同的圖形拼組成原來已經(jīng)學(xué)過的圖形，但這種拼組和平行四邊形的剪拼有很大的差異。平行四邊形的剪拼是一種等積變形的過程，即在剪拼過程中面積保持不變，而三角形和梯形的拼組是面積發(fā)生成倍變化的過程。圓面積的推導(dǎo)方法是在前面圖形面積學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上綜合運用所學(xué)方法進行研究的。

在這些圖形面積的學(xué)習(xí)過程中還滲透著重要的數(shù)學(xué)思想，這些數(shù)學(xué)思想都是小學(xué)階段必須關(guān)注的學(xué)科核心素養(yǎng)。如長方形面積學(xué)習(xí)中要關(guān)注歸納、建模的思想；正方形的面積公式又可以通過長方形面積公式類比而來；平行四邊形、三角形、梯形的面積學(xué)習(xí)中要關(guān)注轉(zhuǎn)化和類比的數(shù)學(xué)思想，同時還要關(guān)注通過觀察比較轉(zhuǎn)化前后圖形的聯(lián)系，進行演繹推理得出公式這一推理的過程，這種演繹推理小學(xué)中出現(xiàn)并不多，需要讓學(xué)生有條理地表達。在“圓的面積”學(xué)習(xí)中除了在前面圖形面積中滲透的化歸、推理的思想外，還應(yīng)該凸顯圓這一圖形所特有的極限思想的滲透。

從上面分析可以看出，圖形的面積這部分內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)該同時關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想層面的基礎(chǔ)和經(jīng)驗，總體把握，胸有成竹，以學(xué)定教，分塊有序建構(gòu)。

二、 抓住關(guān)鍵，統(tǒng)籌兼顧

（一）基于面積測量進行面積計算教學(xué)

面積計算源于面積的測量，面積計算是面積測量的升華。因此在學(xué)習(xí)面積單位以后，要讓學(xué)生用面積單位對一些物體進行面積的測量，一方面加深對面積意義的理解，另一方面積累測量這一數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，經(jīng)歷面積計算的由來。這樣的操作活動要人人參與，留足時間。當學(xué)生經(jīng)歷一定量的測量以后，自然而然會進行思考，有沒有更簡單的方法知道被測物體的面積，激發(fā)了學(xué)生探索面積計算的欲望，也讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的完整過程。在這一過程中還應(yīng)該讓學(xué)生依據(jù)面積單位進行面積的估計，建立面積觀念，培養(yǎng)實際能力。

（二）以學(xué)定教，加強面積推導(dǎo)各種方法間的銜接

雖然平行四邊形、三角形和梯形面積公式推導(dǎo)所用的數(shù)學(xué)思想是一致的，都應(yīng)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，即通過剪拼或拼組轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形進行研究，但所用的具體方法是不同的，長方形、正方形的推導(dǎo)方法從測量開始，由平行四邊形完成從測量到剪拼的提升，三角形和梯形學(xué)習(xí)用拼組的方法進行推導(dǎo)， 看似有序遞進，但有些方法對學(xué)生來說還是顯得突然，有難度。特別是三角形面積公式推導(dǎo)中把兩個完全相同的三角形拼組成平行四邊形來進行研究，學(xué)生很難想到。筆者曾做過多次前測和試教，在上三角形面積一課時，讓學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的方法來研究三角形的面積，90%的學(xué)生都是通過沿高剪拼來研究，基本不會出現(xiàn)把兩個完全相同的三角形拼組成平行四邊形來研究的情況。細想原因，其實也很正常，前面平行四邊形的剪拼是一種等積變形，雖然形狀變了，但面積沒有發(fā)生變化，學(xué)生能夠理解。而把兩個完全相同的三角形拼組成平行四邊形，面積發(fā)生了成倍變化，學(xué)生就比較難理解這里的轉(zhuǎn)化。因此需要了解學(xué)生的實際，設(shè)計能讓學(xué)生自主思考的階梯。筆者提供給學(xué)生一個等腰三角形和一個一般三角形，讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的一次活動。

師：同學(xué)們都想到了用這樣的方法（指向板書中的“轉(zhuǎn)化—聯(lián)系—公式”）研究三角形的面積，真的可以嗎？我們試試，打開學(xué)具袋，拿出三角形，同桌合作研究。

探究反饋，收集兩份代表作品展示。

師：同學(xué)們，老師收集了兩個代表性的作品，他們轉(zhuǎn)化成功了嗎？

生：第一個成功了，第二個沒有成功。

師：那這是誰的作品？介紹一下你是怎么得到的？

生：沿著底邊上的高剪開，然后拼成長方形。

師：哦，你是先剪再拼（剪拼）。

師：這個作品是誰的呀？你也來說說。（生答略）

師：兩位同學(xué)的作品，同樣都是沿著高剪開，一個成功，一個沒有成功，這是為什么呀？你說……

生：它是等腰三角形，這個不是等腰三角形。

師：是呀，它是等腰三角形，等腰三角形沿著高剪為什么就能轉(zhuǎn)化成功？（多個學(xué)生說）

師：原來像這樣的等腰三角形沿著高剪得到兩個一樣的三角形，就可以拼成我們熟悉的圖形。這個三角形沿著高剪得到的圖形不一樣，所以沒有轉(zhuǎn)化成功。

師：那這個三角形，有什么辦法也可以讓它轉(zhuǎn)化成功呢？

生：再拿一個與它一樣的三角形去拼成學(xué)過的圖形。

師：好的，老師這里有一個，你來試試。

師：轉(zhuǎn)化成功了嗎？

師：找兩個一樣的三角形，拼一拼，組成一個學(xué)過的圖形。這是我們今天學(xué)習(xí)的一種新方法——拼組。

這樣的設(shè)計，消除了“拼組”這種方法出現(xiàn)的突然性，突破了教學(xué)難點，充分發(fā)揮了學(xué)生的主動性，實現(xiàn)了由“剪拼”到“拼組”的提升。

（三）合理使用數(shù)學(xué)情境

為了引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師在進行面積計算教學(xué)時也往往會用情境引入。如教學(xué)平行四邊形面積計算時，教師經(jīng)常用求平行四邊形的花壇、車位等面積問題來引入，三角形的面積教學(xué)時用求紅領(lǐng)巾的面積來引入，這樣的數(shù)學(xué)情境效果一般，可有可無。數(shù)學(xué)情境應(yīng)該為促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維而設(shè)計，要支撐學(xué)生的思考和聯(lián)想。下面的情境可能會更有效。

教師出示一個長方形和一個平行四邊形。

師：這兩個圖形大家一定認識，從題目中你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

預(yù)設(shè)：長方形的長是7cm，寬是5cm；平行四邊形的底是7cm，高是4cm，“鄰邊”的長是5cm。

師：根據(jù)這些信息你會計算它們的面積嗎？誰先來說說長方形的面積應(yīng)該怎樣算？

預(yù)設(shè)：7×5=35（平方厘米）

師：那平行四邊形的面積呢？大膽猜想一下。

預(yù)設(shè)：7×4=28（平方厘米）

預(yù)設(shè)：7×5=35（平方厘米）

師：同一個平行四邊形卻出現(xiàn)了兩種方法，你想說什么？

師：那就是說至少有一個是錯的。

師：發(fā)現(xiàn)了至少有一個錯，那接下來我們就可以做什么？

預(yù)設(shè)：實驗驗證。

這樣的情境引入至少有兩方面的作用，第一，從長方形的面積計算進行遷移，自然會有兩種結(jié)果：一是鄰邊相乘，二是底乘高。這就讓學(xué)生形成了思維沖突，究竟孰是孰非，使學(xué)生產(chǎn)生進一步研究的欲望；第二，為平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形埋下伏筆（面積不變），也為徹底弄明白長方形與變形后的平行四邊形之間的關(guān)系準備了很好的學(xué)習(xí)材料（面積變化），理解平行四邊形面積=底×高的本質(zhì)。

（四）注重數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

面積教學(xué)這部分內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、思維能力以及用數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)思想解決問題等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的很好的載體，要充分發(fā)揮這些內(nèi)容在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的作用。

如在平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形之后，在三角形、梯形、圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形之后，都應(yīng)該充分利用信息技術(shù)手段，引導(dǎo)學(xué)生觀察轉(zhuǎn)化前后的圖形之間的聯(lián)系，并進行數(shù)學(xué)表達。

在找到轉(zhuǎn)化前后圖形的聯(lián)系之后，引導(dǎo)學(xué)生進行規(guī)范的數(shù)學(xué)推理。如三角形的面積教學(xué)中，可以讓學(xué)生規(guī)范地表述：平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高，因為平行四邊形的面積等于底×高，也就是三角形的底×高算出了平行四邊形的面積，三角形的面積等于平行四邊形的一半，所以三角形的面積=底×高÷2。

這樣規(guī)范推理和表述為培養(yǎng)學(xué)生嚴密的邏輯性和今后繼續(xù)學(xué)習(xí)演繹推理打下扎實的基礎(chǔ)。

在三角形面積公式的推導(dǎo)過程中，教師要牢牢抓住轉(zhuǎn)化成平行四邊形后，“平行四邊形的面積與原三角形的關(guān)系”這個關(guān)鍵，讓學(xué)生進行觀察和分析，突破公式中“÷2”這個難點。

在梯形和圓的面積教學(xué)中，學(xué)生會綜合運用多種方法進行轉(zhuǎn)化和推導(dǎo)，教師可以按照這樣的程序進行教學(xué)。請各小組代表分別介紹自己的方法，按照“怎樣轉(zhuǎn)化” “轉(zhuǎn)化前后圖形的聯(lián)系” “推理得出公式”這樣的程序進行匯報，并請其他學(xué)生質(zhì)疑。

學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識的同時，在數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、數(shù)學(xué)研究方法、數(shù)學(xué)思想等方面都得到發(fā)展。

（浙江省慈溪市教育局教研室 315300）