三角形中的向量問題

錢少陽

向量是一個重要的數學工具，三角形是一個基本的數學模型，二者結合相得益彰、異彩紛呈，下面列舉三角形中的向量問題，展示向量工具的靈活性與重要性。

一、求內角和邊長

例1.△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設向量=（a-c，a-b），=（b，c+a），若與共線，則角C的大小為（ ）

A. B. C. D.

解析：由與共線知（a-c）（c+a）=b（a-b），整理得a2+b2-c2=ab，由余弦定理知cosC==，故C=，選擇C。

例2.△ABC中，∠A=60o，∠A的平分線交BC于D點，若AB=4，且=+λ（λ∈R），則AD的長為（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：由B、C、D三點共線知+λ=1，故λ=，則=+，

即-=3（-），=3，由內角平分線性質知||=3||，

則||2=（+）2=2+·+2=27，

故||=3，即AD長為3，選擇B。

二、判斷三角形的形狀

例3.△ABC滿足2=·+·+·，則△ABC是（ ）三角形。

A.等邊 B.銳角 C.直角 D.鈍角

解析：將已知條件整理得·=0，則CA⊥CB，故選擇C。

例4.O為△ABC所在平面內一點，滿足（-）·（+-2）=0，則△ABC是（ ）三角形

A.等腰 B.直角 C.等邊 D.等腰直角

解析：取AB中點D，由-=，-=知+-2=+=2，又-=，

故·=0，則CD⊥AB，而CD為中線，故選擇A。

三、判斷三角形的心

例5.O為△ABC內一點，滿足++=，則O為△ABC的（ ）

A.垂心 B.內心 C.外心 D.重心

解析：取AB邊中點D，由向量加法的平行四邊形法則知+=2，條件轉化為=2，由重心性質選擇A。

例6.M為平面內一點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足條件=+λ（+） （λ>0），則P點的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A.外心 B.內心 C.垂心 D.重心

解析：令=（+），由向量加法法則知平分∠ABC，而-=，

由=λ知BP為∠ABC的平分線，故選擇B。

四、求三角形的面積（面積比）

例7.已知=（2，-1），=+、=-，若△AOB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，則△AOB的面積為（ ）

A.3 B.6 C.9 D.12

解析：由題意||=||且⊥，即|+|=|-|且（+）·（-）=0，整理得||=||且·=0，故||=|+|=

=3，則△AOB的面積為||2=9，選擇C。

五、證明三角形命題

例8.求證：三角形的三條高線共點。

已知：△ABC三邊上的高線分別為AD、BE、CF，求證：AD、BE、CF共點。

證明：由AD、BE相交，設交點為O，下面證明CO⊥AB，且CO與CF重合。

∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴⊥，⊥，

=+，=-，

則·=（+）·（-）=（-）·（-）=·（+-）=·=0。

故⊥，即CO⊥AB，已知CF⊥AB，

由平面內過一點作已知直線的垂線有且只有一條得CO與CF重合，故AD、BE、CF共點O。

說明：用向量法還可以證明三角形的三條中線共點，三條內角平分線共點，三邊的中垂線共點等。