學習進階在數學教學中的應用

王靜 胡典順

摘 要 研究學習進階的內涵、特點、組成要素以及研究步驟有利于更好地理解學習進階。以數學概念“統計量”為例，在學習、理解、領會學習進階的理論基礎上，通過研究數學教材、數學課程標準，進而提出數學中平均數、中位數、眾數這三個統計量學習進階的預期進階水平以及達成預期學習進階水平的路徑。研究學習進階在數學教學中的應用，對于課堂教學的指導、完善課程標準及教材的編訂，以及學生學業成就的評價都有積極的作用。

關鍵詞 數學學習進階 內涵 特點 要素 應用

一、學習進階概述

1.學習進階的內涵

2011年7月，美國國家研究委員會（NRC）發布《K-12年級科學教育框架：實踐、跨科學概念和核心概念》，這個文件的發布標志著美國新一輪的教育改革開始了，此次改革明確提出按照學習進階（Learning Progression）的理念來促進學生掌握核心概念。美國希望通過研究學習進階來改變以往“廣而不深”的課程體系，打破課程、教學與評價不一致的局面，因此，學習進階成為近年來美國科學教育領域的研究熱點。目前，教育科學界對學習進階的定義還沒有統一的界定。史密斯等認為“學習進階是學生在學習時對一系列概念連續的、逐漸復雜的思維方式”；羅曼斯等認為“學習進階是從小學延續到高中的一條符合邏輯和學生發展的概念序列”；賽琳娜界定學習進階為“以實證為基礎的、可檢驗的假說，它闡釋了在一段時間內經過適當的教學指導，學生對科學核心概念、科學解釋以及科學實踐的理解和運用是如何逐漸發展、逐漸深入”[1]。NRC將學習進階定義為“對學生在一個較大時間跨度內學習和研究某一主題時，所遵循的連貫的、逐漸深入的思維路徑的假定性描述”[2]。綜上，學習進階是學習者在學習某一主題的過程中，從尚未接受教學，到開始學習，最后至完成此學習階段，學習者對于主題內概念的想法與理解程度，逐漸精致化并趨于成熟的發展過程，是在一段時間內，學生對于某一核心概念的學習進展情況和進步發展歷程。

2.學習進階的特點

（1）圍繞核心概念展開

核心概念是各個學科中能夠把基本知識框架搭建起來的起關鍵性作用的概念，數學中的核心概念能將不同數學概念的理解結合成為一個有條理的整體，是對于學習數學而言極為重要的概念。數學學科中的核心概念可以是課程標準中提出的數感、符號感、符號意識、空間觀念、創新意識、模型思想等比較抽象的概念，也可以是因數、倍數、方程、圖形變換、向量、統計量等比較具體的知識點。學習進階正是圍繞這些核心概念來研究學生知識習得的由淺入深、由易到難的過程。

（2）研究過程具有實證性

學習進階是通過研究教材、課程標準、文獻等資料提出的，開發一個學習進階的目的是判斷學生的知識水平屬于學習進階的哪個階層、驗證學生的表現是否與學習進階的描述一致以及預測學生的知識發展路徑等。要達到這些目的必須對學生評量施測進行實證研究以獲得學生的學業表現。

（3）進階途徑具有多樣性

某一核心知識的學習進階只能代表典型發展路徑，只能代表大多數學生的知識發展水平，而由于學生的基礎水平、教育背景、認知發展規律等都存在個體差異，同一個學習進階不一定符合每一個學生。對于學習進階中的某一個水平，不同的學生所達到的時間和所掌握的程度不一定相同，因此，學習進階的途徑具有多樣性。

（4）學習進階的假設性

學習進階的開發是通過系統分析當前大量的理論與實證研究得到的假設性發展路徑描述，通過實證研究驗證之后需要不斷地修改與完善。

（5）學習進階的層級性

學習進階中的每一個階段都是前一個階段所要達到的目標，同時也是后一個階段的認知基礎，各個階段的學習是循序漸進的，每個階段代表一種新的認知發展水平。學生獲得核心知識的過程則是從學習進階的最低階層逐漸發展到最高階層的過程。

3.學習進階的組成要素

學習進階大致包括進階起點和終點、進階水平、學業表現、進階維度、測評工具這五個核心要素。

（1）進階起點和終點

進階起點是學生開始學習某個核心概念所具有的水平，進階終點是學生學習某一特定核心概念時所能達到的最高水平。

（2）進階水平

進階水平是指學習進階的各個階層所要達到的目標，是學習進階所描述的發展路徑上的各個步驟，它反映學生在掌握核心概念時的階段性與順序性，各個進階水平是相互關聯的。

（3）學業表現

學業表現描述學生處于某個特定進階水平時的具體表現。參照各個進階水平的學業表現，研究者可以判斷學生處于學習進階的哪一個發展水平。

（4）進階維度

進階維度是指學生學習了多個核心概念時，通過追蹤這些核心概念的發展路徑可以了解學生的整體學習情況。只有當學生逐漸掌握越來越多的核心概念，研究者分析學生的各個進階維度時才能了解學生掌握整個學科基本知識框架的程度。

（5）測評工具

測評工具是根據學習進階編制的評量試題，通過學生的答題表現來檢測學生所處的發展階段，評量試題應該隨著學習進階的修改而進一步完善。一個學習進階最好開發多套評量試題。

4.學習進階的研究步驟

建構新的學習進階應先確定進階要圍繞的核心概念，提出有效的進階假設；然后根據假設選擇測量模型，開發測量工具收集證據；最終才能基于證據修訂假設，逐步完善進階。研究者在開發學習進階時，各有其不同的研究方法，主要包括文獻研究法、設計研究法、訪談法、問卷法等。從這些不同的研究方法中，可歸納出某些具有順序性的步驟（見表1）。

按照學習進階研究的步驟，在選好核心概念之后，應該仔細研讀學科課程標準以及教材，并且大量查閱相關核心概念的研究文獻，在此基礎上初步提出核心概念學習進階的預期水平。提出預期的進階水平之后，通過實證調查逐步完善學習概念也是一個非常重要的過程。

二、學習進階的應用舉例——以數學概念“統計量”為例

基于學習進階的理論研究，在分析教材、課程標準和以往對統計量研究的文獻的基礎上，劃分數學概念掌握的預期水平。以“統計量”這個核心概念為例，探討統計量的學習進階預期水平（本文只涉及平均數、中位數和眾數這三個統計量）。

1.課程標準對這三個統計量的要求

參考《義務教育數學課程標準（2011年）》和《普通高中數學新課程標準（實驗）》，將課程標準中對平均數、中位數和眾數知識的要求整理成表2。

數學課程標準對這三個統計量知識的要求的明顯變化是，在第一學段中取消了原來對平均數的要求，把該內容移到了第二學段；第二學段中位數、眾數內容也往后移。同時，從表2中可以看出隨著學習年級的升高，對平均數、中位數和眾數的要求也越來越高。課程標準對知識要求的銜接性與學習進階連貫、逐漸深入的思維路徑的描述一致，課程標準的制定考慮學生身心發展規律與認知發展規律也同樣給學習進階的開發帶來啟發意義。

2.教材中這三個統計量的知識分布

為了明確義務教育階段和高中階段數學教材中統計量知識的分布，本文選取北師大版最新教材作為研究的參考教材。根據教材內容的安排，并結合平均數、中位數、眾數這三個統計量的相關知識點對其作整理（如表3）。

從表3中可以看出，教材中統計量內容的組織與安排遵循數學課程標準中循序漸進的精神。平均數、中位數和眾數的內容在小學、初中和高中教材中都有安排，并且是按照循序漸進、由淺入深的原則安排在各個學段，對知識掌握目標的要求也是隨著年級的升高而逐漸提高。教材安排的這種規律與學習進階連貫逐漸深入的特性是一致的。因此，仔細研讀教材對構建統計量的學習進階有很大的參考價值。

3.查閱統計量相關研究

對國內統計量相關的研究文獻進行回顧與總結，了解研究者過去關于學生統計量學習表現的研究發現。有研究者經過調查研究得出以下結論：學生對統計量中的計算問題處理得比較好；對平均數、中位數、眾數等統計量的綜合運用有困難；不會從統計思想方法的角度思考問題，解決實際問題；對平均數、中位數、眾數三個統計量意義的區別和聯系不是很清楚；從初步理解統計量術語到使用統計語言和概念去理解實際問題仍然存在很大困難，即使是面對簡單的實際問題，學生對統計量的理解也處于較低水平[3]。學生在課堂上注重理解統計的事實性知識或程序性知識，較少參與到統計概念性知識的活動中。學生如果忽略概念的重要性，可能就無法真正掌握相關知識的本質，企圖改變這種現狀也是研究學習進階的意義所在。

學生統計量學習過程中出現的種種問題，可能是學生在學習進階發展路徑中暫時無法到達下一階層的阻礙因素。因此，前人的這些統計量相關研究成果也是我們構建學習進階的參考內容。

4.統計量假設性學習進階的建構

結合課程標準和教材對平均數、中位數、眾數知識的目標要求以及學生在統計量內容中的學業表現情形的闡述，基于學習進階的理論研究，可以提出6個統計量學習進階的進階水平，并列出每一水平中學生的預期學業表現。

學生對平均數、中位數、眾數這三個統計量的認知大致按這種預期水平前后連貫、逐漸復雜和精致地發展，對后一水平的理解是在前一水平基礎之上的，不同水平具有本質上的差異，體現出相應年齡階段學生對該知識理解的普遍特征和規律。

5.統計量學習進階的精確建構

關于統計量學習進階的精確建構還需要通過很多深入的實證探討才能加以完善，要進行訪談調查以及大量的評量施測，把學生的預期表現與實際表現進行比較，進一步修改初步建立的假設性學習進階。學習進階的建構正是這樣一個假設與驗證、理論與實踐不斷交替、逐步完善的過程。

三、學習進階在數學教學中應用的思考

學習進階在西方科學教育領域已成為一個研究熱點，并且在物理、化學、生物等學科中已取得一些成就，而關于數學學習進階的研究起點稍晚。數學學習進階的研究、應用與實踐也應該得到重視，我們應該認識到學習進階在數學教學中的應用價值。

1.學習進階對于課堂教學具有指導作用

教師可以圍繞核心概念展開教學，建構核心概念的學習進階能為學生提供掌握核心概念的學習路徑，通過掌握進階維度所涉及的更廣闊的核心概念逐步理解數學學科的基本知識框架。學習進階中的進階水平及相應的學生學業表現清晰地描述了學生知識發展的一般性路徑，能使教師通過學習進階預測學生的前進方向，判斷學生目前所處的具體位置，以便為學生學習知識建立切實可行的行動指南。學習進階中的水平層次往往代表學生在理解概念時容易出現錯誤理解的地方，教師可以根據學習進階來關注學生的學習難點，以便選擇合適的教學方法幫助學生更順利地到達更高的概念理解水平。例如，當給出三組數據：A：9、7、6、9、9、10、8、8、7、10；B：6、10、9、8、9、10、6、8、10、10；C：10、7、9、10、7、8、10、9、10、10，告訴學生三組數據的“平均水平”都是9，讓學生判斷三組數據分別運用了平均數、中位數、眾數中的哪一種“平均水平”，如果學生判斷出錯，說明還沒到達統計量學習進階中的水平3，這時教師應該采取適當的教學策略幫助學生順利到達水平3。

2.學習進階有助于完善課程標準及教材的編訂

數學課程標準需要不斷改革以符合學生的認知發展規律，而現有的數學教育研究在支撐數學課程標準改革的某些方面還有待改善。美國提出研究學習進階的目的也正是為了改變以往“廣而不深”的課程體系而制定新的課程標準。我國的基礎教育沒有將課程作為一個整體設計，沒有統一的課程標準，而是分為義務教育階段和高中階段。我國不同學習階段的學科課程也是分別設計的，小學和初中之間、初中和高中之間缺乏內在的邏輯聯系，導致教學實踐中出現大量脫節現象[4]。在我國，可以看到許多初中數學學得好的學生在上高中之后，數學成績下降很多，這與教材知識缺乏連貫性有關。學習進階理論的研究基于大量的實證探討，能代表學生真實的學業水平表現，對出現在不同年級的同一個核心概念進行整合使進階水平更具有連貫性，對于課程標準的改革及教材的重新修訂具有指導意義。

3.學習進階有利于改善學生學業成就的評價

我國對于學生數學學業成就的評價方式基本是通過考試，很難了解到學生學習的過程，即評價方式是終結性評價而不是形成性評價。這樣只能判斷學生達到學習目標與否，很難對學生的思維過程進行評價。通過比較學生的學習表現與學習進階中的進階水平，可以很清楚地了解學生處在起點與最終要到達的目標之間的哪個位置，追蹤學生的核心概念發展水平，則可以評價學生的學習過程，實現形成性評價。

參考文獻

[1] 姚建欣，郭玉英.為學生認知發展建模：學習進階十年研究回顧及展望[J].教育學報，2014 （5）.

[2] National Research Council.Taking Scienceto School：Learning and Teaching Sciencein GradesK-8[M].Washington：the National Academics Press，2006.

[3] 曲元海，項昭，李俊揚，等.初中生學習統計量理解水平的調查分析[J].數學教育學報，2006 （1）.

[4] 郭玉英，姚建欣，張靜.整合與發展——科學課程中概念體系的建構及其學習進階[J].課程·教材·教法，2013（2）.

[作者：王靜（1991-），女，江西宜春人，華中師范大學數學與統計學學院在讀碩士研究生；胡典順（1965-），男，湖北孝感人，華中師范大學數學與統計學學院教授，博士。]

【責任編輯 郭振玲】