試論類比法在乘法公式中的應用

朱軍

摘 要：教師要結合乘法公式研究如何應用類比法進行乘法公式教學，幫助學生實現對新知識的深化理解，進而使學生有效掌握新知識。

關鍵詞：乘法公式；類比教學；應用；數學

中圖分類號：G633.6；G424.21 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）12-0053-01

一、類比教學法內涵

關于類比的說法很多，教師認為：類比教學法，就是通過與教學內容相似或相通并且為學生所熟悉的事物或學習過的知識進行類比，以建立知識模型，化抽象為具體，促使復雜變為簡單，進而幫助學生實現新知識的深化理解，促進學生有效掌握新知識的教學方法。在運用類比教學法之前，教師必須對兩個對象進行比較，找出它們的相似部分，發現可類比的特征。類比的相似點越多，類比才越有效。

二、類比教學法在乘法公式中的應用

1. 結構類比

（1）與平方差公式結構類比。學生學習過平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2后，教師一定要講清公式中a、b符號的意義。a、b僅僅是一個符號，它們可以代表一個數，也可以代表一個單項式或多項式，只是它們的和與差的積，一定等于它們的平方差。教師可以把它結構簡記為：（前+后）（前-后）=前2-后2。符號簡記為：“前”面完全相同，“后”面互為相反數，這就是公式符號的特征。如果遇到有類似結構的就可用類比法，它就是我們的類比源，靶問題與它類比即可。

例：（2x+3）（2x-3）中，可把2x比作a，把3比作b；（-m+2n）（-m-2n）中，把-m比作a，2n比作b；（3a-2b）（-3a-2b）中，注意把這個乘積式結構顛倒過來進行類比，把-2b比作a，把3a比作b，因此有：1）（2x+3）（2x-3）=（2x）2-32=4x2-9。2）（-m+2n）（-m-2n）=（-m）2-（2n）2=m2-4n2。3）（3a-2b）（-3a-2b）=（-2b+3a）（-2b-3a）=（-2b）2-（3a）2=4b2-9a2。4）在59×61中，可以先把它寫成：59×61=（60-1）（60+1），然后再按照公式（a+b）（a-b）=a2-b2計算。拓展：（x+2y-3）（x-2y+3）=？在這道題中，如何變化括號中的項，才能運用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2計算 ？

（2）與完全平方公式結構類比。完全平方公式：（a+b）2=a2+

2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。公式中a、b符號的意義與平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中a、b符號的意義一樣，它們可以表示數，也可以表示單項式、多項式，只是它們的和與差是完全平方。

例：運用完全平方公式計算。

1）（-2m+3n）2；2）（3y-）2。讓學生類比：上述兩題中完全平方里的兩項，哪個相當于a，哪個相當于b，然后按照完全平方公式計算。

例：運用乘法公式簡便計算。

1）103×97； 2）1042。啟發學生思考：在小學里學生學過簡便計算，看看上面的算式，各個數最接近哪個整數，怎樣變化后還是跟原數相等？其中，103×97=（100+3）（100-3）；1042=（100+4）2。這樣變化，就能使算式從山重水復到柳暗花明，從而可以與完全平方公式進行類比計算。

2. 規律題類比

規律題，不論是平時考，還是中考，都是考試的熱點問題，它主要考查學生的類比能力。這類題學生從前面題目中找到規律和方法即可解題，但要關注細節，以防出錯。

例：觀察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1。

啟發學生，題題類比，發現規律：（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）=xn+1-1（其中n為正整數）。

類比題：1）（a-b）（a+b）=a2-b2，2）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，3）（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4。……可以得出（a-b）（an+an-1b+an-2b2+…+bn）=an+1-bn+1。

3. 錯解題與正解題類比

為防止學生出錯，很多老師都會用錯解題與正解題進行類比，目的是讓學生關注易錯點，提高解題的正確率。

例：計算（2x+y-z+10）（2x-y+z+10）。

錯解：1）（2x+y-z+10）（2x-y+z+10）=[2x+（y-z+10）][2x-（y-z+10）]=4x2-（y-z+10）2。

分析：平方差公式簡記式為：（前+后）（前-后）=前2-后2。 “前”面完全相同，“后”面互為相反數。觀察兩個括號中，2x與10是相同的部分，y與-y、-z與z都互為相反數，分組結合后才可以利用平方差公式。錯解主要原因是在添括號時發生符號錯誤，本題目的是讓學生關注添括號時要注意變號。

正解：1）（2x+y-z+10）（2x-y+z+10）=[（2x+10）+（y-z）][（2x+10）-（y-z）]=（2x+10）2-（y-z）2=4x2-y2-z2+40x+2yz+100。

三、結束語

總之，應用類比法教學，教師要多了解學生，注意發現題目中的關鍵信息，然后根據這個靶問題尋找類比源，讓新知識低坡度地呈現在學生的面前。對于學生不可能解決或很難解決的問題，教師要根據具體情況，聯系類似題型進行必要的答復和揭示。

參考文獻：

[1]鄒麗萍.類比法在中學數學教學中的應用[J].大連教育學院學報，2015（04）.

[2]馬波，鄧文紅，張曉東.類比——中學數學有效教學的重要方法[J].數學通報，2013（09）.