巧用構造法證明不等式*

●謝益飛　(柯橋中學　浙江紹興　312030)

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巧用構造法證明不等式*

●謝益飛(柯橋中學浙江紹興312030)

摘要:不等式在中學數學中處于重要地位，但不等式的證明卻是一個難點．巧妙運用構造法證明不等式往往能夠化繁為簡、化難為易．本文介紹了運用構造法證明不等式的幾種常用方法．

關鍵詞:基本不等式;方程;函數;數列;幾何圖形;向量

在數學解題中，不能直接運用邏輯推理一步一步地導出必要條件而得出問題的結論時，可以跳出原來問題所設置的圈子，從新的角度用新的觀點觀察、分析、解釋對象，別開生面地依據題設條件的特點，用已知條件中的元素為“元件”，用已知數學關系式為“支架”，在思維中構造出一種新的數學形式，或者直接構造出有關結論，使原問題中隱晦不清的關系和性質在新構造中清楚地展現出來，從而簡捷地解決問題，這種解題思想稱為構造．構造法有積極的和可借鑒的地方，歷史上很多著名數學家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經用“構造法”成功地解決過數學難題．

構造法屬于非常規思維，用構造法解題常使數學解題由難變易．不等式的證明問題是中學數學的一個難點，本文舉例說明運用構造法證明不等式的幾種常用方法．

1　構造基本不等式

很多不等式可以利用題設條件構造相應的基本不等式再利用有關性質進行證明．

例1設|a|，|b|，|c|均小于1，求證:

證明由條件|a|＜1，可構造不等式1+a＞0，同理可構造1+b＞0，1+c＞0，于是

同理可得

將式(1)展開得

將式(2)展開得

即

2　構造方程

有的不等式可以從題設或結論的外形結構作形似聯想，構造出方程關系，使問題實現轉化，從而獲得證明．

證明由結論b2≥4ac的結構特征聯想到Δ= b2－4ac≥0，從而構造一元二次方程

評注此題也可根據結論的特點，將題設條件2邊平方得

3　構造函數

有的不等式用普通方法很難證明，若巧妙構造函數，運用函數思想，則能迎刃而解．例3已知x，y，z∈(0，1)，求證:

(第15屆俄羅斯數學競賽試題)

證明構造函數

因為y，z∈(0，1)，所以

而f(x)是一次函數，其圖像是直線，又x∈(0，1)，故恒有f(x)＞0，即(y+z－1)x+(yz－y－z+1)＞0，整理可得x(1－y)+y(1－z)+z(1－x)＜1．

評注此題條件、結論均具有一定的對稱性，然而難以直接證明，構造函數簡單快捷．

例4已知a，b為實數，并且e＜a＜b，其中e是自然對數的底，證明:ab＞ba．

證明當e＜a＜b時，要證ab＞ba，即證blna＞alnb，只需證構造函數(其中x＞e)，求導得，因為當x＞e時，lnx＞1，所以y'＜0，從而函數在(e，+∞)上是減函數，又e＜a＜b，故，即ab＞ba．

評注該題構造函數，并運用了導數的性質判斷函數的單調性，從而證明不等式．

4　構造數列

相當多的數學問題，尤其是證明不等式，嘗試“構造數列”能產生意想不到的效果．

例5對一切非零自然數n，求證:

證明構造數列{an}，使其通項為

則

因為

所以an+1＞an(其中n∈N*)，從而對一切自然數n，都有an≥a1＞1，即

評注與自然數有關的不等式證明，最常規的方法是數學歸納法和放縮法，但數學歸納法往往過程較繁，放縮法盲目性較大，通過構造數列的方法可使證明過程更加簡潔明快．

5　構造幾何圖形

若要證明的不等式中的數量關系有明顯的幾何意義，則可以通過某種方式與幾何圖形建立聯系，構造圖形，將題設中的數量關系直接在圖形中體現，然后在構造的圖形中尋求結論．

例6如果x1，x2的絕對值不大于1，求證:

證明在直角坐標系內作單位圓，⊙O的方程為x2+y2=1．如圖1，取OM1=x1，OM2=x2，作N1M1⊥x軸交⊙O于點N1，作N2M2⊥x軸交⊙O于點N2，則取M1M2的中點M，顯然

圖1

設MN交N1N2于點N'，由梯形的中位線定理知

即

6　構造向量

代數、幾何、三角函數中的很多問題都可以利用向量來解決，不等式的證明問題有時也可以引入向量來解決．

例7設a，b，c，d為非零實數，求證:

并說明等號成立的條件．

由向量的三角形法則知

評注類似可證明

作者簡介:謝益飛(1983－)，男，浙江紹興人，中學一級教師，研究方向:數學教育．

修訂日期:*收文日期:2016-01-29;2016-02-29．

中圖分類號:O122．3

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-16-02