真的不能用分離參數(shù)法嗎*

●藍(lán)云波　鄔海輝　(興寧市第一中學(xué)　廣東興寧　514500)

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真的不能用分離參數(shù)法嗎*

●藍(lán)云波鄔海輝(興寧市第一中學(xué)廣東興寧514500)

摘要:通過(guò)對(duì)幾類似乎不能用分離參數(shù)法解答的不等式恒成立問(wèn)題的分析，走出了這幾類問(wèn)題的實(shí)施分離參數(shù)法的思維困境，并通過(guò)尋找各種方法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決．提高了學(xué)生解答問(wèn)題的效率和能力，開(kāi)闊了思維和視野．

關(guān)鍵詞:分離參數(shù);思維困境;恒成立問(wèn)題

分離參數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，在解題中占有重要地位．這種思想方法尤其適用于解決含參變量的不等式恒成立問(wèn)題，常能起到化難為易的功效．筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生尤其喜歡利用這種思想方法解答有關(guān)不等式恒成立問(wèn)題，而且也確實(shí)收到了一定的成效．但對(duì)于某些問(wèn)題，學(xué)生卻不能得到較好的解決，官方通常給出的解答并非是分離參數(shù)法，大都是通過(guò)其他方法使問(wèn)題得到解決，這對(duì)于習(xí)慣了使用分離參數(shù)的學(xué)生而言，要想跳出原有的思維并非易事．因此，筆者嘗試解決這樣的困境，探討用分離參數(shù)的思想方法解決幾類似乎不能用分離參數(shù)解決的問(wèn)題，現(xiàn)拋磚引玉如下．

1　利用代數(shù)變形，巧求極限值

1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1］上是否為“弱增”函數(shù);

2)設(shè)x1，x2∈［0，+∞)，x1≠x2，證明:

(2014年廣東省深圳市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題)

分析1)，2)略．

3)①當(dāng)x=0時(shí)，a∈R，b∈R．

因此g(x)在(0，1］上單調(diào)遞減，從而

2　利用導(dǎo)數(shù)定義，突破極限值

例2設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex－1)－ax2．

2)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(2010年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

分析1)略．

2)由已知得f(x)=x(ex－1－ax)≥0(其中x≥0)，即

當(dāng)x=0時(shí)，a∈R;當(dāng)x＞0時(shí)，分離參數(shù)得

令h(x)=xex－ex+1(其中x＞0)，則

因此h(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，從而

綜上可知，a的取值范圍為(－∞，1］．

變式1已知函數(shù)f(x)=ex－e－x．

1)證明:f'(x)≥2;

2)若對(duì)x≥0都有f(x)≥ax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(2007年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

(答案:(－∞，2］．)

3　虛擬設(shè)根，整體代換

例3已知函數(shù)f(x)=lnx－mx2，g(x)=，其中

2)若關(guān)于x的不等式F(x)≤mx－1恒成立，求整數(shù)m的最小值;

3)若m=－2，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足F(x1)+ F(x2)+x1x2=0，證明:

(2015年湖北省八校高三第二次聯(lián)考理科試題)

分析1)，3)略．

所以

點(diǎn)評(píng)本題的難點(diǎn)在于函數(shù)最大值的求解，但極值點(diǎn)是一個(gè)超越方程的解，顯然無(wú)法求出．注意到本題所求的m為最小整數(shù)，故可利用虛擬設(shè)根、整體代換、零點(diǎn)存在定理的思想方法使問(wèn)題得到圓滿的解答．

變式2設(shè)函數(shù)f(x)=ex－ax－2．

1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

2)若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，(x－k)f'(x)+x+1＞0，求k的最大值．

(2012年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)文科試題第21題)

(答案:1)f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，+∞)上單調(diào)遞增;2)2．)

作者簡(jiǎn)介:藍(lán)云波(1981－)，男，廣東興寧人，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-10-05;2015-10-31．

中圖分類號(hào):O122

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1003－6407(2016)04-13-03