挖掘教材　　超越教材*——由一道學(xué)考題引發(fā)的教學(xué)思考

●葉曉武　(永嘉中學(xué)　浙江永嘉　325100)

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挖掘教材超越教材*——由一道學(xué)考題引發(fā)的教學(xué)思考

●葉曉武(永嘉中學(xué)浙江永嘉325100)

摘要:做好對教材的挖掘和探究，是走向?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要渠道．由此借助2014年7月浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)考題的呈現(xiàn)，分析考題源頭，挖掘命題高度，理解問題本質(zhì)．以學(xué)考題教學(xué)為例，總結(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)中做好對教材問題的背景和本質(zhì)的挖掘，更要做好對教材的探究和超越．引導(dǎo)學(xué)生把握教材知識的本質(zhì)，學(xué)會(huì)思考和探究，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣．

關(guān)鍵詞:學(xué)考;教材;阿波羅尼斯圓;數(shù)學(xué)思考

1　緣起學(xué)考——從學(xué)考題的解答中發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問題

在2014年7月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平測試中，第33題(解答題的第3題)是一個(gè)中上檔的題目，涉及到求軌跡方程、圓關(guān)于直線對稱問題和圓與圓的位置關(guān)系的判斷等數(shù)學(xué)知識，需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯推理能力和分析問題與解決問題的能力．本題滿分8分，全省平均得分不到2分，大多數(shù)考生不能解決這個(gè)問題，不少考生在第2)小題中由于不能分析和看透問題的本質(zhì)、缺乏靈活的分析與思考等數(shù)學(xué)基本素質(zhì)而導(dǎo)致失分．這樣的現(xiàn)象不禁引發(fā)筆者的深深思考，我們該如何做好平時(shí)的教學(xué)?如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力?如何提高學(xué)生分析和思考問題的數(shù)學(xué)素質(zhì)?所謂授之以“魚”，不如授之以“漁”．

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－1，0)，(1，0)．設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)滿足|PA|=λ|PB|(其中λ＞0且λ≠1)．

1)求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀．

2)對λ的2個(gè)不同取值λ1，λ2，記對應(yīng)的曲線為C1，C2．

①若曲線C1，C2關(guān)于某直線對稱，求λ1，λ2的積;

②若λ2＞λ1＞1，判斷2條曲線的位置關(guān)系，并說明理由．

(2014年7月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)試題第33題)

第1)小題重在考查求軌跡方程的“直譯法”，它是求軌跡方程方法中最基本、最通用的方法，是考綱要求掌握的基礎(chǔ)知識．第2)小題中的①考查圓關(guān)于直線對稱的特性，若不能理解本質(zhì)，就很難求解，甚至無從求解;②中考查了圓與圓位置關(guān)系判斷的基本方法，但難處在于龐大的計(jì)算量，面對字母學(xué)生是“望而卻步”．

針對全省平均得分情況，筆者通過對部分學(xué)校學(xué)生的調(diào)查，了解到最主要的失分在于第2)小題，大多數(shù)學(xué)生束手無措．其一:面對那么多的字母參數(shù)他們有心理上的畏懼，想做又不敢做;其次，一些學(xué)生感覺應(yīng)該就是按常規(guī)的思路，但看到巨大的代數(shù)式就沒有信心也沒有能力繼續(xù)做下去;再次，更多學(xué)生不能理解本問題，沒有對問題做好本質(zhì)的分析，找不到解題的思路，看到那么多的字母以致無從下手．通過以上的調(diào)查與分析，我們應(yīng)該做好反思并改進(jìn)我們的教學(xué)．

2　源于教材——從對教材的處理中發(fā)現(xiàn)教師教學(xué)中存在的問題

翻閱教科書可以發(fā)現(xiàn)，教材書上有好幾處練習(xí)對本知識點(diǎn)做了編寫考查:

出處1人教社A版《數(shù)學(xué)必修2》第124頁B組第3題:已知點(diǎn)M與2個(gè)定點(diǎn)O(0，0)，A(3，0)的距離之比為，求點(diǎn)M的軌跡方程．

出處2人教社A版《數(shù)學(xué)必修2》第140頁:信息技術(shù)應(yīng)用——用“幾何畫板”探究點(diǎn)的軌跡:圓．其中的例題:已知P(2，0)，Q(8，0)，點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離是它與點(diǎn)Q的距離的，用“幾何畫板”探究點(diǎn)M的軌跡，并給出軌跡方程．

出處3人教社A版《數(shù)學(xué)必修2》第144頁復(fù)習(xí)參考題B組第2題:已知點(diǎn)M(x，y)與2個(gè)定點(diǎn)M1，M2距離的比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m≠1 這2種情況)［1］．

筆者調(diào)查了部分一線數(shù)學(xué)教師，對于課本上的題目他們的處理方式主要是2種情況:1)布置給學(xué)生做，基本沒校對;2)沒有布置，因?yàn)楝F(xiàn)在有了配套作業(yè)本等課外輔助教學(xué)用書，書本上的作業(yè)基本沒做．了解中發(fā)現(xiàn)，幾乎沒有教師對這幾個(gè)題目引起重視，更談不上研究．作為學(xué)生，他們更不可能主動(dòng)去做這個(gè)題目，當(dāng)然就不會(huì)研究．

書本如此多次出現(xiàn)這個(gè)問題，設(shè)置這個(gè)題目作為課后習(xí)題，那肯定不失它的重要性和價(jià)值所在．其次，在信息技術(shù)應(yīng)用處用“幾何畫板”探究它，說明了教材引導(dǎo)我們對其中本質(zhì)的挖掘．可許多教師卻丟棄了其“精華”，辜負(fù)了書本編者的初衷，背道而馳．大多數(shù)教師都只是在做更多的“應(yīng)試題”，進(jìn)行“題海戰(zhàn)術(shù)”．認(rèn)為僅需掌握圓的基本知識就夠，卻忽視了對圓知識的深入思考、探究，缺少了對問題本質(zhì)的挖掘，也丟失了教學(xué)生學(xué)會(huì)思考和探究問題的學(xué)習(xí)能力．這引起我們的思考:知識掌握了，技能學(xué)會(huì)了，我們能丟棄“數(shù)學(xué)思考”嗎?

3　“圓”歸教材——研讀教材，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)數(shù)學(xué)思考

對比學(xué)考題和書本習(xí)題，可以發(fā)現(xiàn):試題來源于教材，但又不拘泥于教材．教材上這3個(gè)問題都是偏重求軌跡和軌跡方程，突出求軌跡方程的方法．細(xì)心挖掘，可以清楚地看到編者的意圖:在出處2中要求學(xué)生用“幾何畫板”探究，這里的設(shè)計(jì)就提醒我們對此問題要深入挖掘．而學(xué)考題，它不但考查了求軌跡方程的基本方法，第2)小題更突出考查了學(xué)生對問題的分析，把握問題的本質(zhì)，做到有的放矢，從而達(dá)到胸有成竹地完成后續(xù)的計(jì)算．此處的“圓”，就是數(shù)學(xué)上著名的“阿波羅尼斯圓”，這其中的內(nèi)容豐富多彩．

由此告訴我們，對于教材上的知識和習(xí)題，我們不能只是完成了事，或?qū)λ弥活櫍鼛啄甑母呖济}趨勢都體現(xiàn)了題目的來源離不開教材，但又不拘泥教材，這就要求教師要重視教材，用好教材，并挖掘好教材，超越教材．

3．1立足教材——挖掘整理，把握本質(zhì)，歸納思考

下面，筆者以學(xué)考題引發(fā)的思考，在高三復(fù)習(xí)中所開設(shè)的一堂復(fù)習(xí)課為例，示范在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中如何挖掘教材，達(dá)到讓學(xué)生的知識技能得以提升的同時(shí)，也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力得到培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)“漁”的能力．

例2［2］滿足條件的△ABC 的面積的最大值是______．

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

學(xué)生的解法有如下幾種(簡略敘述):

解法1(三角函數(shù)法)設(shè)邊長BC=x，則

解法2引進(jìn)角變量∠ACB=θ，得，從而求得最大值為

從而求得最大值．

解法3(解析法)應(yīng)用“阿波羅尼斯圓”，將三角問題解析化．

設(shè)A(－1，0)，B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)C(x，y)，由AC=得

化簡得

對比以上解法可以發(fā)現(xiàn)解析法對于此題的解決非常方便，這就是在“阿波羅尼斯圓”背景下解決問題．為此，若學(xué)生理解“阿波羅尼斯圓”的由來及其概念，也并非需要用相關(guān)結(jié)論來解決，只需做到“心中有數(shù)”，那就能快速解題．而這一切的成果源自平時(shí)教師對教材的挖掘和對學(xué)生的引導(dǎo)、啟發(fā)，從而讓學(xué)生把握本質(zhì)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考．

因此，若教師能在教材使用中，找到教材上的這3個(gè)問題，歸類講解，首先把這3個(gè)問題同時(shí)布置給學(xué)生當(dāng)作業(yè)，校對講解，然后進(jìn)行拓展．可如下進(jìn)行教學(xué)操作:

環(huán)節(jié)1布置作業(yè)——就是教材上的出處1和出處2這2個(gè)問題．

環(huán)節(jié)2作業(yè)校對講解，歸納總結(jié)，把問題提升到得出“阿波羅尼斯圓”的概念．

環(huán)節(jié)3變式教學(xué)．

變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－1，0)，(1，0)．設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)滿足|PA|=m|PB|(其中m＞0，且m≠1)．求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀．

變式2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B是2個(gè)定點(diǎn)．設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)滿足|PA|= m|PB|(其中m＞0且m≠1)．求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀．

通過以上變式教學(xué)，讓學(xué)生立足于教材，又高于教材，在解答教材習(xí)題的過程中，歸結(jié)提煉出“特殊問題”中存在“一般結(jié)論”．這樣的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣，以及這樣思考所獲得的成就，學(xué)生一定能深刻掌握．這樣讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解答數(shù)學(xué)問題的同時(shí)做到習(xí)慣性地“數(shù)學(xué)思考”，讓數(shù)學(xué)知識和技能都得到提升，發(fā)展了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好習(xí)慣，從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，最終可謂是“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”．

3．2活用教材——探究學(xué)習(xí)，啟發(fā)思考，培養(yǎng)能力

顯而易見，上面的變式教學(xué)其實(shí)只是讓學(xué)生經(jīng)歷從“特殊”發(fā)現(xiàn)“一般”的結(jié)論．那到底是否理解其本質(zhì)的內(nèi)容?比值變化又有何區(qū)別?不同的比值間會(huì)有關(guān)系嗎?這都是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)中要善于發(fā)現(xiàn)和思考的問題．很多文章也都對“阿波羅尼斯圓”做過研究，各國高考也都對“阿”進(jìn)行考查，可他們都只是停留在對概念的考查，并沒有對其中本質(zhì)的挖掘．當(dāng)然，我們的教學(xué)肯定不能只停留在知識和技能上，更應(yīng)該教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)思考”，讓知識變得透徹，讓思維得以延續(xù)，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)得以挖掘，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考．為此，筆者建議教學(xué)進(jìn)行如下探究學(xué)習(xí)設(shè)計(jì):

探究1你能快速畫出上述的“阿波羅尼斯圓”嗎?

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡已經(jīng)肯定是圓了，因此通過找特殊點(diǎn)M和N(在直線AB上)，其中這2個(gè)點(diǎn)只需要滿足:

然后就以MN為直徑畫圓即可(如圖1)．

圖1

在這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生采用了“特殊法”研究問題的思想，很快解決問題．這種思想在高考中也是探究一般性問題或是探索性問題的一種重要的研究思想，在此探究使用，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)和掌握此方法的重要．

這里的M和N其實(shí)就是內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，而且∠MPN=90°，以此線段MN為直徑作圓，這個(gè)圓即是所求圓．

探究2當(dāng)m的值變化時(shí)，此時(shí)不同的阿波羅尼斯圓會(huì)有什么區(qū)別和聯(lián)系?由此你能發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)?

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)1m越大，點(diǎn)M越接近點(diǎn)B，點(diǎn)N也越接近點(diǎn)B，此時(shí)圓越小(因?yàn)橹睆組N在變小)．

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)2集合包含．從集合的角度觀察，不同的m所對應(yīng)的圓是包含關(guān)系，即

其中m1＞m2，若P∈P1，則P∈P2．

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)3對稱性．由探究1學(xué)生發(fā)現(xiàn)比值m對圖形的影響，因此動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，可知2個(gè)圓關(guān)于線段AB的垂直平分線(y軸)對稱．

由探究1和探究3的思考與發(fā)現(xiàn)，學(xué)生理解了比值m的意義，此時(shí)學(xué)考題第2)小題中①的答案“呼之欲出”，然后只用常規(guī)的坐標(biāo)法加以驗(yàn)證．同樣，對于第2)小題中②的答案也是順應(yīng)產(chǎn)生，這樣的思考習(xí)慣，解題就輕松，當(dāng)然也是命題者的初衷．

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)4由探究3學(xué)生的思維回到了熟悉的對數(shù)函數(shù)y=logax(其中a＞0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)中的知識:當(dāng)其中的a取2個(gè)相反的常數(shù)時(shí)，得到的函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，這種知識類比的思維和遷移的思想能讓學(xué)生具備更強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，學(xué)會(huì)更主動(dòng)地思考問題．

通過以上的探究，學(xué)生不但掌握和落實(shí)了基本的求軌跡方程的方法，而且能站在更高的角度認(rèn)識“阿波羅尼斯圓”，其中m的取值對圖形的影響，不同m對應(yīng)不同圓之間的區(qū)別和聯(lián)系，而且通過探究4這個(gè)發(fā)現(xiàn)和類比，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識的奧妙、神奇和“豁然開朗”．毋庸置疑，這樣的數(shù)學(xué)思考和探究，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時(shí)，更學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)思考，學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)和探究數(shù)學(xué)的思想方法，也培養(yǎng)了學(xué)生一種終身“會(huì)學(xué)習(xí)”的能力．

因此，學(xué)考和高考是我們教學(xué)的一個(gè)指導(dǎo)方向，而教材是一個(gè)基點(diǎn)．立足基點(diǎn)，朝著方向，我們可以清楚地看到考試的一個(gè)準(zhǔn)則是:多考一點(diǎn)思考，少考一點(diǎn)計(jì)算;回歸課本，超越課本．因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們必須重視教材，因?yàn)榻滩氖俏覀兊慕虒W(xué)工具，里面的題目是專家精心挑選的，具有代表性和遷移性．教師不僅要認(rèn)真教好教材，還要善于挖掘問題的背景和本質(zhì)，讓學(xué)生達(dá)到“做一題，會(huì)一類”，掌握知識的同時(shí)，更要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力．在復(fù)習(xí)過程中，我們要學(xué)會(huì)整理知識，抽出問題的本質(zhì)，讓學(xué)生在思考中提升知識的同時(shí)，也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考的學(xué)習(xí)能力．

參考文獻(xiàn)

［1］劉紹學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)必修2．A版［M］．北京:人民教育出版社，2013:124-144．

［2］袁玉芹．“阿波羅尼斯圓”高考現(xiàn)身［J］．?dāng)?shù)學(xué)天地:高中版，2012(2):4-5．

作者簡介:葉曉武(1978－)，女，浙江永嘉人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-01;2016-01-05．

中圖分類號:O123．1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-10-04