靈活建系　　妙用基底*

●傅鮮兵　(金華市外國語學校高中部　浙江金華　321015)

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靈活建系妙用基底*

●傅鮮兵(金華市外國語學校高中部浙江金華321015)

摘要:向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著豐富的實際背景．在高中階段，向量有著舉足輕重的作用，并不斷在高考中得以體現．“建系”與“用基底”是用向量解決幾何問題的2個妙招．

關鍵詞:向量;建系;用基底

筆者2015年又教高三，一文一理，做題甚多，卻無特別大的成就感．近日，被一學生的問題點醒，靈感乍現，十分激動，提筆成文．

1　緣起

生:老師，不共線的2個向量e1，e2構成這一平面內所有向量的一組基底，不共面的3個向量e1，e2，e3可以表示所有的空間向量，是嗎?

師:對的!

生:那么平面向量正交分解和空間向量正交分解只是向量分解中的一種特殊情況咯?

師:是的啊，這些老師上課也都說明了!

生(追問):那么平面直角坐標系和空間直角坐標系也只是坐標系中的一種特殊情況咯?

師:嗯，有想法，你的想法是正確的，值得肯定!

生:老師，您能舉個例子，利用斜角坐標系解決幾何問題嗎?

師:嗯，老師去想想，再給你答復．你的想法很不錯，很深刻!

學生對基底和坐標系的理解很深刻，作為這個學生的數學老師，筆者感到驕傲和自豪，自然竭盡所能去思考這個問題，進一步激發學生對數學的興趣，促使學生更加深入的思考!

2　文科從平面向量入手，理科從空間向量入手

妙招1靈活建系(平面向量問題舉例)

例1已知在△ABC中，過中線AD的中點E任作一條直線分別交邊AB，AC于點M，N，設(其中xy≠0)，則4x+y的最小值為______．

(2015年浙江省寧波市效實中學高三期中數學文科試題)

考點平面向量的基本定理及其意義;向量在幾何中的應用．

解法1(利用平面向量基本定理)

從而

在解法1完成后，不失時機地引導學生從已知的向量共線的結論去考慮．根據向量的加法及條件，結合點M，E，N共線，解出x，y的方程，然后利用“1”的代換，化簡4x+y，利用基本不等式，求表達式的最小值即可．還可以得到如下解法:

解法2(妙用“1”代換)

以上2種解法，傳統而自然．向量問題總是可以用坐標去解決．本著這個指導思想，我們可以用一種“驚艷”的方法將其解決!

解法3(靈活建系，解法驚艷)建立如圖1所示斜角坐標系，令A(0，0)，B(b， 0)，C(0，a)，則，令直線MN:

圖1

于是

從而

建系一般選2個相互垂直的坐標系，但有些情況下也可選擇斜坐標系．建系是基底選擇的應用，在中學階段一般選相互垂直的坐標系．具體的目的就是使每個點的坐標好計算，也可以設計斜坐標系，只要達到目的就行了．

妙招2妙用基底(空間向量問題舉例)

例2如圖2，在三棱錐A-BCD中，AB=AC= BD=CD=3，AD=BC=2，若M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM 所成角的余弦值為______．

(2015年浙江省數學高考理科試題第13題)

方法1(化異面為共面)將2條異面直線平移，化異面為共面．這是傳統解法，也是浙江省考試院給出的參考答案．

圖2

方法2(置身立方體，視野大不同)結合三棱錐的特點，每組對邊均相等，可以構造長方體，使得長方體的長、寬、高分別為這樣即可以建系，又可以化異面直線為共面直線，發現化異面為共面也變得易如反掌!

方法3(妙用基底，別有洞天)因為三棱錐的每條邊長都已知，所以根據余弦定理可得

在用解析幾何的方法解立體幾何問題時，如果可以找到空間中3條線互相垂直，那么我們一般會以那3條線為坐標軸建立空間直角坐標系，求出圖中各個點的坐標，用解析幾何的方法去計算或是證明，其實這就利用了基底(3條坐標軸)．

在一些沒有垂直關系的立體幾何中，基底的運用會更明顯．由于沒有垂直，我們只能在空間中任取3條不共面的線作為基底，當然在取基底的時候會以“好算”為原則．有了基底以后，雖然不能像有坐標系那樣知道每個點的坐標，但是可以通過基底的加減表示圖形中的向量，一般我們選的基底的夾角是已知的，通過向量的運算同樣可以求出圖形中的距離、角度等，只不過不如建系方便．

3　教學啟示

一個熱愛思考、熱愛發問的學生是教師的好幫手，幫助教師提升自我．教師珍視學生的問題，將好的問題進行挖掘，不僅可以激發學生對數學的熱愛，也可以增加教師自身的教學素養．正所謂教學相長，不亦樂乎!

作者簡介:傅鮮兵(1986－)，男，浙江義烏人，中學一級教師，研究方向:數學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-22;2016-02-28．

中圖分類號:O123

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-01-02