算術教學中培養學生的代數思維淺談

呂健威

[摘 要]算術思維是代數思維的基礎，算術思維發展到一定程度后必然向代數思維過渡。所以，教師應想方設法在低年級的算術教學中培養學生的代數思維，使學生與代數思維同步發展。

[關鍵詞]低年級 算術教學 代數思維 培養 數形結合

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）12-029

《數學課程標準》把“數和代數”放在一起敘述，足見算術思維和代數思維是一個不可分割的整體，且低年級數學知識中存在許多算術思維和代數思維的銜接點。因此，在低年級算術教學中，教師應注重培養學生的代數思維，使學生在數學上獲得更好的發展。

一、啟蒙：等號作為代數思維的理解

等號，學生一般都認為它像一個從左向右的單向箭頭，就在確信相等之前要進行計算。如學生看到6-5時，常常條件反射地寫上等號，這個等號被理解成執行四則運算的標志，意為“得到”。于是，在低年級學生作業中就會出現2+3=5×4=20+6=26之類的錯誤，他們總認為等號后面是前一個算式的得數。這反映了學生在算術中只關注等號的程序性質，忽視或無視等號的關系性質。而卡彭特等人認為：“從算術思維到代數思維的轉換標志之一，是從等號的程序觀念到等號的關系觀念的轉變。”因此，在課堂教學中，教師應引導學生把等號理解成表示相等且左右相等的符號。如49+36與轉化成的50+35，它們之間仍然是相等的，可以用等號連接；而2+3=5×4=20+6=26中卻不存在相等關系，應改為5×4+6=20+6=26。

從低年級起，教師可以結合運算律的教學，引導學生將得數相等的算式用等號連接起來，如3+2=2+3、（13×5）×8=13×（5×8）等，促進學生對相等關系的理解。教師還應通過39+36=40+（ ）、13+（ ）=15+（ ）、8×（ ）=6×（ ）等式子，促進學生靈活運用思維，識別出算式中隱含的結構關系。同時，教師可設計30=2×3×5、30=13+（ ）=90÷（ ）等式子，讓“=”在學生頭腦中變成雙向的箭頭，并要求他們做出清晰的左右相等關系的解釋。這樣教學，既可以培養學生的代數思維，又使他們對等號關系性特點的認識更深入。

二、實踐：數形結合的代數思維特征

數形結合中“數”的代數性質與“形”的幾何性質的轉化是等價的。數形結合就是根據數量與圖形之間的對應關系，把抽象的數學語言與直觀圖形、抽象思維和形象思維相結合。另外，數形結合還是通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要的數學思想。在低年級數學教材中經常見到數形結合的例子，如以數輔形和以形助數等。

1.以數輔形

題目：計劃植樹60棵，今天已植樹20棵，余下的在4天完成，余下的平均每天植樹多少棵？

這道題本來定位為算術問題，當用線段圖來表示時，數和形之間就存在對應關系，促使學生運用代數思維解決問題。另外，有了圖形，數學問題就變得直觀；有了數量，圖形才成為線段圖。

2.以形助數

如教學“認識厘米”一課時，教師設計以下活動：（1）看一看：1厘米有多長？（2）摸尺子：從0刻度到1刻度之間的長度就是1厘米。（3）找一找：從自己的尺子上找到其他的1厘米。（4）比一比：在老師身邊或者同學身上，哪些物體的長度大約是1厘米？同時，教師出示如下的練習題：“畫一個長5厘米、寬3厘米的長方形。”這個5厘米、3厘米以及所畫的長方形都是抽象的，它們不僅是已知與結果的關系，而且存在相互依存的關系，需要學生運用代數思維予以解決。

數學課堂中，對于線段圖、幾何圖形及韋恩圖等，教師應引導學生通過已知條件，適當借助數與形（圖）的關系來幫助理解，從而實現知識的建構。

三、滲透：式子作為一個數的代數思想

代數式可以是一個數、一個字母或一個式子，而在沒有出現字母表示數之前，出現的式子一般都是可以算出一個具體的數（得數）的。如：“電腦小組共有24人，如果3人合用一臺電腦，需要幾臺？”學生用24÷3這個算式來解決問題，得到結果是“8臺”，此“8臺”也是教師需要的答案，若用24÷3來表示結果，那學生肯定認為不行。這樣，學生形成了算式與一個數是不一樣的思想，而不去想它們之間的聯系。學生受算式表示具體數的影響，在學習代數初步知識時，對形如a-1的式子可以表示一個數量難以理解。因此，在這之前，教師在教學中應該滲透一個式子可以表示一個數的思想。

在學生理解一個算式可以表示一個數后，教師教學時就可以進一步抽象，強調列綜合算式解題，為提高學生的抽象思維能力創造了條件。如有這樣一道練習題：“老師一共要烤90個面包，已經烤了36個。每次烤9個，剩下的還要烤幾次？”同時，教師予以解釋：“‘剩下的面包數÷9=還要烤幾次，這里的‘剩下的面包數就是90與36的差，列成綜合算式應該是‘總數與烤好的數的差除以9，即（90-36）÷9。”這里，教師引導學生把90-36這個算式理解為一個數，參與到列式過程中，使學生理解了算式與數的關系，懂得了添括號的必要性，為以后理解代數式做好準備。

四、堅決：低年級教學必須培養代數思維

1.對算術思維與代數思維的初步理解

算術思維是利用數量計算出答案及得到答案的過程，此過程具有情境性、特殊性、計算性等特點。代數思維是一種形式的符號操作，它的運算過程具有結構性等特點，側重的是關系的符號化及其運算，是無法依賴直觀運作的。此外，算術思維發展到一定程度之后，必然向代數思維過渡。在實際教學中，不少教師提起代數思維，首先想到的是正式學習代數的起步內容“用字母表示數”，這是膚淺的認識，而有的教師明明在低年級教學時運用了代數思維進行指導，但他全然不知這是代數思維。而且，不少教師對代數思維的認識是模糊的，更別提培養學生的代數思維了。

2.代數思維的培養與數學成績密切相關

有的家長發現自己的孩子在第一學段成績非常好，但到第二學段后成績卻有所下降，造成這種現象的主要原因之一就是教師在第一學段對代數思想方法的滲透不到位，只是過分強調算術思維的訓練。事實證明，教師不能無視算術教學中學生代數思維的培養。因此，教師要重視學生數學思維能力的培養，以此提高課堂教學質量。其實，代數思維是數學思維能力的基礎、核心，雖然低年級數學以算術思維為基礎，但現代教育理論認為代數思維對低年級數學教學質量的提升有明顯的促進作用。

3.培養代數思維必須從一年級開始

代數思維的培養并不是一個經歷足夠多的練習便可跨越的量變過程，而是必須經歷數與代數的抽象、運算與建模等結構轉換才能實現的質變過程。學生從算術思維向代數思維過渡需要孕伏，可這樣的任務不能只靠學生主動開展、單獨面對，也不應該僅僅是高年級教師的教學任務。教師與其著眼于小學和初中代數知識的銜接，不如重視小學第一、第二學段代數思維的銜接。因此，低年級教師應該善于捕捉恰當的內容，尋找恰當的時機，選擇恰當的方式，及時培養學生的代數思維。

代數思維應自低年級、在不同知識領域循序漸進地進行培養，貫穿在整個數學教學中。由于小學低年級數學教學的主要任務是邊適時孕伏，邊適當培養代數思維和意識，因此教師不能過早地引入抽象的代數符號和不必要的術語，以免增加學生的學習負擔。

（責編 杜 華）