實驗：數學教學中美麗的花朵

洪三球

1.問題的提出

江蘇科學技術出版社編著的義務教育教科書，《數學》（九年級上冊）4.1等可能性，有這樣一道例題：

一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，會出現哪些可能的結果？摸出白球與紅球的可能性一樣嗎？

在強調讓實驗走進數學課堂的大背景下，如何準確處理這道例題才是恰當的呢？

2.問題的分析解決

2015年9月筆者參加了昆山及蘇州大市的百節優秀課評比，課題恰好就是《等可能性》。隨著比賽層次的提高，對這道例題的認識也在不斷深化。

2.1片級初賽——對本例題進行了簡單的解讀和講評。

由于初賽是在昆山市南片幾所學校之間進行，筆者對這道例題并未做深入解讀，在學習了等可能性的條件后，直接按等可能性的四條要點進行逐一分析：因為袋中有兩個紅球和一個白球，摸到紅球的可能性要大一些，所以摸到白球與摸到紅球不是等可能的。但是在課后反思中，筆者覺得在對這道例題的處理過程中過分強調了形式化的邏輯推導和形式化的結果，對數學發現過程的展示和數學直觀性的背景關注較少，所以講解得很吃力，可能部分學生也只是機械地了解了答案而已。

2.2縣市決賽——初步引入實驗思想解讀本例。

由于以第一名的成績從南片出現，因此還得參加昆山市級決賽，課題還是《等可能性》。

新的課程理念要求教師在概念教學中注重知識的生成，引導學生從已有的知識背景和活動經驗出發，提供給學生大量操作、思考與交流的機會，讓他們經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流與反思等過程，進而在增加感性認識的基礎上，幫助學生形成數學概念。基于這一教學理念，本輪在對這道例題的處理上嚴謹深刻了很多。

筆者設計了如下教學過程：

首先讓學生討論小明和小麗兩位同學的看法，并形成了初步的意見：小麗同學說法正確。

然后設計了摸球實驗：

實驗分成A、B兩大組，每個大組分六個小組。A組依據小明同學看法設計，盒中兩個紅球（沒有編號）和一個白球。B組依據小麗同學看法設計，盒中兩個紅球（編號為紅球1、紅球2）和一個白球。

組長拿盒子，組織好游戲，書記負責記錄（畫正字）組員負責輪流摸球，摸球次數20次，要求安靜、迅速、守秩序。

各小組完成下列表格數據，最后小組匯總到總表格：

分析所得數據，此處只采用定性分析的方法（因為限于時間和實驗次數實際結果同理想結果會出現偏差）。

由A組實驗數據可看出紅球的次數要遠多一些，可見小明同學的說法是不恰當的。由B組數據可得白球，紅球1、紅球2的次數比較靠近，因此如果把紅球編號為紅球1、紅球2則抽出的結果有三個：白球，紅球1、紅球2。而且這三個事件是等可能的，從而證實了同學們的猜想。

第二次對例題的解讀已經有些接近課標對實驗教學的要求，也經歷了猜想，實驗、驗證的過程。但是在教后反思中，發現實驗過程的安排缺少條理，為做實驗而做實驗，實驗的目的，實驗的步驟及最后對實驗數據的分析，實驗最后得到了什么結論，都沒有完全科學地展示出來。

2.3地市決賽——完成用實驗思想解讀本例。

比賽結果我以第一名的成績參加蘇州市的決賽，課題還是《等可能》。這次更是不敢掉以輕心，對每個教學程序都做了精心的策劃和安排，對本例更是做了精彩的解讀和發揮。

第一步：讓學生猜想哪位同學的說法正確，并做簡單的分析和解釋。

第二步：帶著上述猜想，進入我設計的實驗程序。

實驗規則：（1）、（2）與昆山比賽設計相同，增加了以下規則：

（3）A組一次摸球只需要記錄是紅球還是白球。B組則需要記錄白球，紅球1、紅球2.

（4）每次摸完放回，搖勻再摸。

（5）摸球時不要用眼睛看。

（6）把實驗報告單填寫完整。

小組實驗記錄：對應顏色的球下面畫正字。

第三步，小組匯總到總表格（表格設計同前）：

實驗結果（A）組：我們組共摸球？搖 ？搖次，其中摸到白球？搖 ？搖次，紅球？搖 ？搖次，摸到？搖 ？搖球的次數多。實驗證明：因為盒中有紅球？搖 ？搖個白球？搖 ？搖個，所以摸到？搖 ？搖。

實驗結果（B）組：我們組共摸球？搖 ？搖次，其中摸到白球？搖 ？搖次，紅球1？搖 ？搖次，紅球2？搖 ？搖次。實驗證明：由于紅球有2個，如果把它們編號為紅球1、紅球2，那么攪勻后從中任意摸出1個球有？搖 ？搖種可能，而且可能性？搖 ？搖。

第四步，實驗結論：

（1）由于這3個球除顏色外都相同，因此攪勻后從中任意摸出1個球，摸到每一個球的可能性是相同的。

（2）由于紅球有2個，如果把它們編號為紅球1、紅球2，那么，攪勻后從中任意摸出1個球有3種可能的結果：

摸出白球，摸出紅球1，摸出紅球2。并且這3種結果是等可能的，因此摸到紅球的可能性大。

（3）由此說明，小明的說法是不正確的，小麗的說法正確。

第五步，結論推廣：

像例3這樣，由于同色球數量不對稱，而導致摸球結果不等可能的例子，通過什么樣的方法能使實驗的結果具有等可能性？

最后，結論應用：一只不透明的袋子裝有2個白球和3個紅球，這些球除顏色不同外，其他都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，有哪些等可能的結果？

通過本次實驗該例題的解讀和價值完全被展示出來，而且實驗的程序完全合乎科學的規則。

首先，從實驗程序來說，從猜想—實驗驗證—獲取原始數據—小組收集數據—全班收集數據—分析數據—得出結論—結論的深化—深化后的挖掘運用，是一套科學的實驗程序，組織的有條不紊。

其次：對實驗數據的分析，從小組結論——全班結論真正體現了收集到的數據的統計價值，A組的結論證明了（1）：由于這3個球除顏色外都相同，所以攪勻后從中任意摸出1個球，摸到每一個球的可能性是相同的。B組的結論證明了（2）：由于紅球有2個，如果把它們編號為紅球1、紅球2，那么，攪勻后從中任意摸出1個球有3種可能的結果：摸出白球，摸出紅球1，摸出紅球2.并且這3種結果是等可能的，因此摸到紅球的可能性大。這樣的分析給學生提展示了一個完整的數據分析的方法，直觀明了。

再次，對結論（2）的推廣有目的地解決了本節課的一個教學目標和教學難點即會列出一些類型的隨機試驗的所有可能結果，而這道例題的價值也正是體現在這里。

在教授這節內容的過程中，大多數教師可能只是按照作者最初的想法對這道例題進行了教學，但是現在看來，這樣的處理方法是沒有準確理解教材提供這道例題的目的，也沒有完全認識到這道題所體現的價值。所以在課堂教學中引入數學實驗是引導學生發現問題、提出猜想，驗證猜想和創造性地解決問題的有效途徑，也是完善學生認知結構，提高學生數學素養的重要途徑。

3.問題的反思

經過課改的有效宣傳，我們基本都已經接受實驗必須進入數學課堂的理念，但是很多課堂教學中出現大量為實驗而實驗的情況。到底如何讓數學實驗有效地與數學課堂緊密結合是值得廣大教師深思的問題，可以從以下方面入手。

3.1認真研讀教材，研讀教學大綱準確把握教學目標教學難點。

只有在完全解讀了教學內容之后才能在適當的地方設計合適的實驗，例如對本例題的實驗設計是基于會列出一些類型的隨機試驗的所有可能結果的教學目標，通過設計紅球1、紅球2，然后進行摸球實驗，通過數據的分析學生直觀體會到原來對于這樣的例題需要用編號的方法把不是等可能性的結果改編成具有等可能性的結果。

3.2選好實驗對象后要精心設計實驗程序。

老師在設計實驗程序時要認真構思實驗過程中的每個環節，對實驗中可能出現的問題、現象、失敗的原因要盡可能考慮得細致，不能單為做實驗而做實驗，要系統全面地分析實驗目的、操作要求、步驟等。

在考慮本例的實驗過程中，先讓學生提出猜想，然后驗證猜想，最后分析實驗得到的數據，最后歸納出本例的三點結論，并根據教學目標適時對第二點結論進行拓展，所以實驗的安排非常合乎科學研究的程序。

3.3對實驗所得到的結果要進行多維度的分析。

上述例題中，對A組的數據進行分析，可以得到如下結論：袋中的三個球被摸到的可能性都是一樣的，又因為有兩個紅球，所以實驗得到的數據明顯偏向紅球。

對B組數據進行分析，可以得到如下結論：如果把紅球編號為紅球1、紅球2，則袋中有三個對象，白球，紅球1、紅球2，且他們被摸到是等可能的，再由此引申就可以得到用編號的方法可以列舉等可能事件。

參考文獻：

[1]中國教育部.數學課程標準.北京師范大學出版社，2002.

[2]蘇科版實驗教科書九年級（上）.江蘇科學技術出版社，2012.11.