拋物線中一類動直線過定點的問題

筆者近日拜讀了王云峰老師的《淺談動曲線過定點問題》一文。文章中所采用的“特殊到一般”的數學思想將解析幾何中繁難的動曲線過定點問題簡化為猜想證明，從而快速解決問題。筆者經過反復研讀，認為這種解題思想大有觸類旁通的作用，再聯想以往教學中出現的幾個典型問題，來淺談一下“拋物線中一類過定點問題”。

先來看一個經典的問題：

問題1：O是直角筆者近日拜讀了王云峰老師的《淺談動曲線過定點問題》一文。文章中所采用的“特殊到一般”的數學思想將解析幾何中繁難的動曲線過定點問題簡化為猜想證明，從而快速解決問題。筆者經過反復研讀，認為這種解題思想大有觸類旁通的作用，再聯想以往教學中出現的幾個典型問題，來淺談一下“拋物線中一類過定點問題”。

先來看一個經典的問題：

問題1：O是直角坐標原點，A、B是拋物線y2=2px（p>0）上不同兩點，且OA⊥OB，求證：動直線AB過定點。

我們先找到定點的位置，然后再驗證。設直線OA、OB的斜率分別為k1、k2。

①當k1→+∞時，則k2→0（k1· k2=-1），此時點A趨于原點O，點B趨于無窮遠處，直線AB的極限位置就是x軸（也可由對稱性得出），這樣我們有理由認為定點就在x軸上；② 取直線OA的斜率k1=1，則直線OB的斜率k2=-1，此時直線AB的方程為x=2p。這樣可以猜測直線AB所過定點為M（2p，0）。下面再來驗證。

將直線OA的方程y=k1x與拋物線y2=2px聯立易得，

，

同理

∴與共線，即直線AB過定點為M（2p，0）。

探究：問題1中的條件OA⊥OB是從斜率角度考慮（k1k2=-1），那么如改成k1k2=1，其他它條件不變，直線AB是否也過定點呢？我們可取k1=k2=1，此時直線AB就是在點（2p，2p）處的切線，對拋物線方程y2=2px求導得：，所以切線斜率為，切線方程為：，令y=0得x=-2p，

此時猜測直線AB過定點M（-2p，0），（驗證同上略）。

條件直線OA和OB的斜率之積是特定的常數，那么我們大膽的猜想“當OA和OB的斜率之積是任意的常數時，直線AB也過x軸上一個定點”。

問題2.：A、B是拋物線y2=2px上不同兩點，O是拋物線的頂點，直線OA、OB的斜率分別為k1、k2，當k1·k2=λ（不為零的常數）時，直線AB是否過定點。

可取k1=1、k2=λ，由問題1可知A（2p，2p）、，

此時，

直線AB的方程為

令y=0得：，猜測直線AB過定點。驗證如下：

，

同理

∴與共線，即直線AB過定點為。

上面問題是把拋物線上的定點放在特殊位置——坐標原點，那么我們猜測拋物線上任意一定點是否也有此類特性呢？這樣提出以下問題。

問題3：A、B是拋物線y2=2px上不同兩點，P是拋物線上的定點，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，當k1·k2=λ（不為零的常數）時，直線AB是否過定點。

我們仍用上面的思考方法進行探究，設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）

當k1→+∞時，則k2→0（k1·k2=λ），

此時點A趨于點P′（x0，-y0），點B趨于無窮遠處，

此時AB的極限位置就是y=-y0軸，這樣我們有理由認

為直線AB如過定點，那么就該在直線y=-y0上。然后再取一組特殊位置（比如k1=1，k2=λ）就可以確定定點位置，但也可以驗證動直線與直線y=-y0的交點橫坐標是否是一個定值。將直線PA的方程y-y0=k1（x-x0）與拋物線y2=2px聯立得：。

由韋達定理得：

，

同理。

，

∴直線AB的方程為，令y=-y0得：

故直線AB是否過定點

經過對問題3的探究得到結論“A、B是拋物線y2=2px上不同兩點，P（x0，y0）是拋物線上的定點，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，當k1·k2=λ（不為零的常數）時，直線AB過定點”。

上述在探究問題的過程中，我嘗試運用的《淺談動曲線過定點問題》一文的思想方法，沿著“特殊到一般”的思考路徑，尋求問題的關鍵點，最終使問題得到解決。坐標原點，A、B是拋物線y2=2px（p>0）上不同兩點，且OA⊥OB，求證：動直線AB過定點。

我們先找到定點的位置，然后再驗證。設直線OA、OB的斜率分別為k1、k2。

①當k1→+∞時，則k2→0（k1· k2=-1），此時點A趨于原點O，點B趨于無窮遠處，直線AB的極限位置就是x軸（也可由對稱性得出），這樣我們有理由認為定點就在x軸上；② 取直線OA的斜率k1=1，則直線OB的斜率k2=-1，此時直線AB的方程為x=2p。這樣可以猜測直線AB所過定點為M（2p，0）。下面再來驗證。

將直線OA的方程y=k1x與拋物線y2=2px聯立易得，

，

同理

∴與共線，即直線AB過定點為M（2p，0）。

探究：問題1中的條件OA⊥OB是從斜率角度考慮（k1k2=-1），那么如改成k1k2=1，其他它條件不變，直線AB是否也過定點呢？我們可取k1=k2=1，此時直線AB就是在點（2p，2p）處的切線，對拋物線方程y2=2px求導得：，所以切線斜率為，切線方程為：，令y=0得x=-2p，

此時猜測直線AB過定點M（-2p，0），（驗證同上略）。

條件直線OA和OB的斜率之積是特定的常數，那么我們大膽的猜想“當OA和OB的斜率之積是任意的常數時，直線AB也過x軸上一個定點”。

問題2.：A、B是拋物線y2=2px上不同兩點，O是拋物線的頂點，直線OA、OB的斜率分別為k1、k2，當k1·k2=λ（不為零的常數）時，直線AB是否過定點。

可取k1=1、k2=λ，由問題1可知A（2p，2p）、，

此時，

直線AB的方程為

令y=0得：，猜測直線AB過定點。驗證如下：

，

同理

∴與共線，即直線AB過定點為。

上面問題是把拋物線上的定點放在特殊位置——坐標原點，那么我們猜測拋物線上任意一定點是否也有此類特性呢？這樣提出以下問題。

問題3：A、B是拋物線y2=2px上不同兩點，P是拋物線上的定點，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，當k1·k2=λ（不為零的常數）時，直線AB是否過定點。

我們仍用上面的思考方法進行探究，設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）

當k1→+∞時，則k2→0（k1·k2=λ），

此時點A趨于點P′（x0，-y0），點B趨于無窮遠處，

此時AB的極限位置就是y=-y0軸，這樣我們有理由認

為直線AB如過定點，那么就該在直線y=-y0上。然后再取一組特殊位置（比如k1=1，k2=λ）就可以確定定點位置，但也可以驗證動直線與直線y=-y0的交點橫坐標是否是一個定值。將直線PA的方程y-y0=k1（x-x0）與拋物線y2=2px聯立得：。

由韋達定理得：

，

同理。

，

∴直線AB的方程為，令y=-y0得：

故直線AB是否過定點

經過對問題3的探究得到結論“A、B是拋物線y2=2px上不同兩點，P（x0，y0）是拋物線上的定點，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，當k1·k2=λ（不為零的常數）時，直線AB過定點”。

上述在探究問題的過程中，我嘗試運用的《淺談動曲線過定點問題》一文的思想方法，沿著“特殊到一般”的思考路徑，尋求問題的關鍵點，最終使問題得到解決。