分數中的數學思想與文化

摘要：分數知識是普通百姓數學素養的組成部分之一。是人類生活與學習中最基礎的知識，分數的發展對人類科技、文化的發展起著重要的作用。因此，了解分數的發展過程、分數中的數學思想、分數中的數學文化對數學教學是非常必要的。

關鍵詞：分數 數學思想 數學文化

分數是第一個“人為”創造的數，它是在自然數之后產生的。它早在人類文化發展初期，已悄悄地闖進人們的生活。時至今日，分數知識是普通百姓數學素養的組成部分之一。分數中孕育了豐富的數學思想與數學文化，全世界的學生，無一例外地要學習分數。《全日制義務教育數學課程標準》中指出：“通過義務教育階段的學習，學生能夠：獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；……”。因此，了解分數中的數學思想與數學文化對數學教學是非常必要的。

一、分數的發展過程

在古代，人們均分東西時，經常出現不能整分的情況；在測量和計算時，也往往遇到不能正好得到整數結果，于是漸漸產生并使用分數。分數在人類文化發展初期，就已悄悄地闖入人們的生活。

人類認識分數，開始只使用具體的分數，如一半、一半的一半等。后來，逐漸出現三分之一、三分之二等分數。最初的分數是某種度量單位的一定部分的名稱，后來才逐漸分化出來，表示各種不同度量單位的一定部分。例如，埃及有一種面積單位，它的四分之一叫做“洛馬那雅”就成為各種量的一部分的總稱。

分數，在許多民族最古老的文獻里，都能找到它的記載，在古巴比倫，從泥板上（這些泥板中有一部分作于公元前2000年，而大部分制作于公元前600年到公元300年之間）我們發現，他們很早就有60進分數記法符號，這些分數記號并不是今天分數的意義，但我們可視之為巴比倫人分數的萌芽；在古埃及，從萊因德紙草書中，我們看見距今3000多年前埃及人用一個卵行記號“O”表示分數的符號，在我國，從公元前3世紀時的《考工記》里就有記寫分數的方法。

二、分數中的數學思想

數學知識與數學思想方法是數學教學的兩條主線。與數學知識相比，數學思想方法具有更高的概括性與包容性，對人的成長和發展具有重要影響。而在分數中蘊涵著豐富的數學思想方法。

（1）等價類思想。一個分數和它的所有擴分和約分相等，這些分數構成一個等價類。分數由無數個等價類組成。其中每一個等價類中的分數彼此相等，但是形式卻不同。作為等價類，我們有時用最簡分數作代表，但是在計算時又需要在等價類中找出適當的分數才能參與運算。兩個分數都是最簡分數，卻不能直接相加，還得找出以兩個分母的最小公倍數為分母的且與 、 等價的 、 ，轉化為 + 才能計算。這就是說，分數等價類中的每個分數，各有各的用處，都有其特定的價值，分數的這個特點，既是學習難點，又具有一定的思想高度，是一個重要的數學思想方法。

（2）數形結合思想。任何一個分數都可以與數軸上的一個點建立一一對應。如：。把分數在數軸上直觀表示，可以清楚的知道分數與分數之間的關系，更能清楚的了解分數與自然數之間的關系。

（3）符號化思想。分數符號是與分數同時產生的，在所有已使用了文字的古代民族中都“發明”了分數記號。分數符號是一種簡明的符號，當今世界各國不用翻譯，人人都能認得的國際通用的分數符號，這給數學的發展帶來很大的方便，它使不同國家、不同民族都能以共同的數學符號進行交流。

（4）極限思想。無限，只是人們的一種想象，只有數學，才真正面對無限。可以說，分數學習已經抵達了“無限”的大門。如：一張紙，把它平均分成2份，一份是這張紙的 ，再把這張紙的 平均分成2份，一份是這張紙的 ，再平均分成2份，一份是這張紙的 ，┅┅，如果這樣下去，這張紙能分完嗎？理論上這張紙是永遠分不完，盡管紙越來越小，但還是有的。但我們能說越分越小，當分的次數無限多時，它的極限為0。

三、分數中的數學文化

分數的發展經歷了漫長而曲折的過程，體現了人類的智慧與創新，因此，在分數學習過程中，應讓學生在不知不覺中受到數學文化的熏陶。

（1）分數中的歷史文化。①中華民族對分數發展的貢獻。中國是分數的故鄉。產生分數概念的最早時代應當是商代（公元前12世紀前后），也就是說至少可以上溯到文字出現的初期。我國分數的記法，在晚周銅器銘文中已出現與現代相通的一般分數記敘法。我國古代用算籌來計算，很早就有了一套完整的分數算法。公元前246年到公元前207年，我國制定的顓頊歷以 天為一年，一年有 月，要計算每個月的天數就需要用到除法，可見當時分數運算已相當熟練，我國最早的一部數學著作《周髀算經》（約在公元前100年成書）中記載了這些復雜的分數計算。我國古代另一部數學著作《九章算術》（約在公元前100年到100年間成書）里面，已經有完整的分數四則運算的法則。《九章算術》把分數加法叫做“合分”，法則是“母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一”。即： + = ，這些法則和我們現在所用的一樣，只是加減時沒有明確要求用最小公分母。《九章算術》還記載有約分，課分（比較分數的大小）和平分（求分數的平均數）的法則，與現代算法也基本一致。②其他民族對分數發展的貢獻。希臘人的分數也是古代文明史上的一顆明珠，我們從幸存的史料中，看到了古希臘人的分數及其記號。歐基里得（公元前330年——公元前275年）和他的學生阿基米德（公元前287年——公元前212年）的著作中，曾創用過分數記號。如他們創用了特殊記號表示簡單分數。在阿拉伯，數學是智慧的母親。為了表現慈母的端莊、美麗，阿拉伯人民用豎行表示偉大母親形象——分數的方法。關于分數線，根據目前發現的記載，最早是在中亞細亞的數學家阿爾·哈薩的著作（約公元1175年）中。分數線出現以后，并沒有被大家所采用，直到十八世紀末葉，開始用a/b來表示 。綜上所述，分數的創用，在數學發展的歷史長河中，不知俘虜了多少人的心靈，經過艱苦曲折的過程終于譜寫出一段令人心醉的分數發展的優美樂章。

（2）分數記趣。在拉丁文中，分數一詞源于frangere，是打破、斷裂的意思，因此，分數也曾被叫做“破碎的數”。例如，1735年，英國一本算術教科書的作者講了這樣一段話：“我們把通常稱為分數的破碎數的運算規則單獨敘述，部分學生看到這些分數時，灰心到不愿學習，他們叫嚷說“不要再往下講了！”。今天，德語還保留有一句諺語“掉到分數里去”，就是形容一個人已陷入絕境，束手無策的意思。

（3）分數中的美。國際通用的分數符號是由分母、分數線、分子組成，簡潔優美，人們對其的心情，猶如母親面對新生的嬰兒，充滿了溫柔、憐憫和愛。

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