淺析導數的應用

吳宗德

【摘 要】 導數在高中新課標中的下移，對高中函數的諸多問題的解決帶了福音，如可以用導數來解決函數中的最值問題，單調問題，不等式問題，還可以與解析幾何相聯系。因此，在中學教學過程中，對導數相關內容的教學也就成了教學的重中之重，也是高考的必考點。

【關鍵詞】 導數；應用；函數；中心對稱圖形；切線；旋轉

【中圖分類號】G633.22 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）07-0-01

導數在高中新課標中的下放，對高中函數的諸多問題的解決帶來了福音，如：可以用導數來解決函數中的最值問題，單調問題，不等式問題，還可以與解析幾何想聯系。因此，在中學教學過程中，對導數相關內容的教學也就成了教學過程中的重中之重，也是高考的必考點。而本文則以導數應用的其中的一個方面（解決簡單函數圖形的中心對稱問題）來說明導數的妙處。

一、情境場景

在新課標的教學過程中，一個偶爾的機會遇到這樣一題：

已知函數其中為常數。

證明：函數的圖形為中心對稱圖形。

而遇到這道題的時候，剛好我們教學內容也進行到導數這一章，于是我的第一反應這道題應該與導數的相關內容有關（因為函數的最高次數已經是3次了），可具體的相關情況感覺是一頭霧水。于是靜坐下來對此題進行了細心的分析，終于功夫不負有心人總算有所收獲，特此和大家一起來分享。

二、分析探討

首先我們從函數的形式上來分析：

第一、最高次數是三次，超出了我們高中階段對于一般函數圖形畫法掌握的要求，即使如此選擇多項式的合并提取等想關內容也無法將高次變成低次的相關我們熟悉的形式，所以直接從三次圖形上或多項式的變形處理上來選擇明顯不合適。

第二、本函數表達式中出現了參數，從而這道題不在是一個單一某個函數的問題，而是指這一類函數的情況，具有通性。也因為參數的出現，急需一種通法解決更是合適的決定，要不以后同類問題上還是會留下后遺癥。

第三、我們從函數所要解決的問題情況來看：不是解決常規的定義域、值域、單調性、奇偶性的問題，而是函數圖形的中心對稱問題。

那么分析到這個時候問題就出現了：為什么在一個高次函數問題中（而且是含參數的函數）設計一個中心對稱圖形的問題呢？做為一個高中階段的學生或教師自然會想到——導數。那么如何解決這個問題呢？我們還要注意這道題中所包含了那些內容呢？

三、內容分析

我們知道中心對稱圖形是指如果把一個圖形繞某一點旋轉180°后能與自身重合，這個圖形是中心對稱圖形。該點稱為對稱中心.而在新課標下來說，只對于簡單函數畫法做必須掌握的要求外，其它相對較復雜函數的圖形根本不做要求。也因為如此，這個外加參數的函數圖形就更沒辦法去處理了。

而在高中教學過程中對處理這種簡單高次形式的問題，只能借助于導數去解決。

我們知道若函數圖形關于點對稱，由函數的中心對稱原理可得，在與處的切線必平行（關于對稱點旋轉后圖形必重合）

那么，對于函數的導函數來說，要是的圖形中心對稱，則只需函數關于軸對稱即可。

四、解決問題

通過上面的分析可得，要證明這個命題，則只需證明，存在使得成立即可，那么現在這個問題很容易解決了：

解：因為為一個一元二次函數，以為對稱軸的軸對稱函數，

所以滿足：，即存在。

那么函數必為中心對稱函數，

且以為對稱中心。

舉例：求以為對稱中心時函數中的的值_____。

解決辦法也是如此：

因為，所以對稱軸，則

到此為止，這個問題就便得到完整解決了，不難從中發現解決此類型的問題的關鍵是保證導函數為一個軸對稱函數即可。

細細品來，我感謝導數。如不是導數的存在，要想解決這個問題可不知要費多大的工夫，我也慶幸我自己因為遇到這一道題而使我認真去思考解決這類問題，從而為我在今后的教學工作中多了一個問題解決的方法，多了一份自信。

這也恰恰是導數魅力之所在。