“三板斧”秒殺平面向量數(shù)量積

曾敏

摘 要：平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，也是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容. 平面向量的數(shù)量積分坐標(biāo)形式與幾何形式兩種. 利用這兩種形式及相關(guān)的性質(zhì)，我們不僅可以解決平面向量的長(zhǎng)度、角度、垂直等問(wèn)題，還可以解決一些函數(shù)的最值問(wèn)題，往往可以收到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果.

關(guān)鍵詞：向量數(shù)量積；轉(zhuǎn)化法；坐標(biāo)法；幾何法

平面向量是高中數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具，而且經(jīng)常和平面幾何、最值、范圍等問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，充分體現(xiàn)了向量的工具性作用. 而作為向量的核心內(nèi)容之一的數(shù)量積運(yùn)算又是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生頗感困惑.基于此，本文通過(guò)一個(gè)具體案例談一談解決平面向量數(shù)量積問(wèn)題的方法與策略.

例 如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則·的取值范圍是_________.

①“必殺技一”——轉(zhuǎn)化法

分析：向量， 均由基底向量，線性表示，

而且已知，的模與夾角，可用定義直接求.

評(píng)注：借助原有圖形對(duì)所求向量進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化，化為用一組基底表示的向量進(jìn)行處理. 此法要求所選的基底的模與夾角可知，計(jì)算中靈活運(yùn)用可以減少運(yùn)算量、思維量，特別對(duì)于平面圖形不含坐標(biāo)系或不方便建立坐標(biāo)系的情況更可以達(dá)到事半功倍的效果.

②“必殺技二”——坐標(biāo)法

分析：由于三角形邊角給定，可把其放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.

解法二：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，如圖2建立直角坐標(biāo)系，

則A（0，0），B（2，0）.

由于0≤λ≤1，故·的取值范圍是[-5，2].

評(píng)注：從幾何形態(tài)解決問(wèn)題較困難時(shí)，可采用代數(shù)方法. 若向量出現(xiàn)在矩形、正方形、直角梯形、特殊三角形等圖形中時(shí)，可以建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，選擇坐標(biāo)法進(jìn)行運(yùn)算.

③“必殺技三”——幾何法

分析：從數(shù)量積的幾何意義看求兩個(gè)向量的數(shù)量積關(guān)鍵就是一向量的模與它在另一向量方向上的投影的乘積.

解法三：由余弦定理知：

BC==定值.

由數(shù)量積的幾何意義知：

·等于的模乘以在方向的投影.

過(guò)A作AH⊥BC于H點(diǎn)

易知：當(dāng)D在B處時(shí)，投影最小，即：

當(dāng)D在C處時(shí)，投影最大. 即：

故·的取值范圍是[-5，2].

評(píng)注：向量的幾何方面的應(yīng)用，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

上述例子充分顯示了平面向量數(shù)量積求解的特點(diǎn)，處理此類問(wèn)題的策略很多，歸結(jié)到底：①“轉(zhuǎn)化法”關(guān)鍵緊扣定義，轉(zhuǎn)換概念. ②“坐標(biāo)法”建系化為代數(shù)中的函數(shù)最值問(wèn)題. ③“幾何法” 構(gòu)造幾何圖形巧解函數(shù)最值. 充分利用好三板斧（“轉(zhuǎn)化法”、“坐標(biāo)法”、“幾何法”）可以真正意義上秒殺數(shù)量積相關(guān)問(wèn)題.