一個(gè)鮮為人知的誤區(qū)

高用

摘 要：目前，三角函數(shù)問題中區(qū)間與集合等同使用非常普遍，不僅是日常教學(xué)、解題中還是諸多教輔中，甚至是高考參考答案都是如此，這是否規(guī)范？本文從教學(xué)中遇到的問題出發(fā)，對(duì)該問題進(jìn)行深入探討.

關(guān)鍵詞：誤區(qū)；三角函數(shù)；區(qū)間；集合

筆者在講評(píng)《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》一課的習(xí)題時(shí)，一道判斷題引發(fā)了學(xué)生的激烈討論.

題目 函數(shù)y=sinx在第一象限內(nèi)是增函數(shù).

學(xué)生中主要有如下三種觀點(diǎn)：

觀點(diǎn)1：錯(cuò)誤. 根據(jù)正弦函數(shù)圖象，函數(shù)y=sinx在第一象限內(nèi)的圖象有增有減，明顯不是遞增的.

觀點(diǎn)2：錯(cuò)誤. 舉反例：和π都是第一象限角，且<π，但是sin=，sinπ=sin=，所以sin>sinπ，不滿足單調(diào)遞增的定義，故y=sinx在第一象限內(nèi)不是增函數(shù).

觀點(diǎn)3：正確. 第一象限角組成的集合可以表示為{x

，k∈Z上是增函數(shù)，即函數(shù)y=sinx在第一象限內(nèi)是增函數(shù).

持觀點(diǎn)1的學(xué)生顯然是理解錯(cuò)了題意，理解成了函數(shù)y=sinx在第一象限中的圖象是上升的，題目中第一象限是指自變量角x的取值范圍.

觀點(diǎn)2是正確的，通過舉反例證明了函數(shù)y=sinx在第一象限內(nèi)不滿足函數(shù)單調(diào)遞增的定義.

那么，觀點(diǎn)3就是有問題的，但是問題出在哪里呢？觀點(diǎn)3看起來也很正確啊.經(jīng)過仔細(xì)思考和反復(fù)辨別，還是觀點(diǎn)2給了筆者啟發(fā)，我們來看看反例的這兩個(gè)角：∈

0，

這是錯(cuò)誤的，在教材上可以找到兩點(diǎn)依據(jù)：

1. 普通高中數(shù)學(xué)教材人教A版關(guān)于正弦函數(shù)y=sinx單調(diào)區(qū)間的敘述為：單調(diào)增區(qū)間是

2. 普通高中數(shù)學(xué)教材人教A版必修四第31頁提到：因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以函數(shù)y=sinx，x∈[2kπ，2（k+1）π），k∈Z且k≠0的圖象，與函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π）的圖象的形狀完全一致.

由此可以看出區(qū)間

然而，無論在解題中還是教學(xué)中，我們似乎已經(jīng)默認(rèn)了區(qū)間與集合是等同的，寫區(qū)間和寫集合都可以，并沒有過分追究，現(xiàn)在細(xì)細(xì)想來，我們卻因此犯下了不少鮮為人知的錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤一 求定義域用區(qū)間

綜上所述，上述幾種情況，區(qū)間與集合是不能混用的，具體用集合還是用區(qū)間要區(qū)別對(duì)待，平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，并加以規(guī)范. 或許，以上問題不痛不癢，無關(guān)乎數(shù)學(xué)本質(zhì)，過分追究便是吹毛求疵，但是數(shù)學(xué)本身是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模辉试S出現(xiàn)任何錯(cuò)誤. 況且這個(gè)問題本身就可以一言以蔽之，當(dāng)然應(yīng)該嚴(yán)格規(guī)范. 筆者希望本文能引起同行們的重視！