APOS理論指導下的高中數學概念教學實踐研究

沈敏鑒

摘 要：學習應該是學生自主建構知識的過程，APOS理論指導下的高中數學概念教學強調學習過程中數學活動的重要性，倡導教師構建直觀的概念學習背景，引導學生在實踐、思維運算和反思抽象等一系列數學學習活動中實現數學概念形式定義和本質理解的統一，豐富學生構建概念的過程，提升內化知識的效率.

關鍵詞：APOS理論；自主建構；高中數學概念

概念是數學知識大廈的主框架，那么我們該如何有效實施高中數學概念教學呢？從數學教學觀和新課程教學理念來看，我們的概念教學必須擺正學生的學習主體性地位，將數學概念教學視為學生對數學概念的本質以及體驗建立概念過程的一個探索歷程，即充分認識到數學教學是“數學認知結構建構的教學”. 那么，如何幫助學生建構知識呢？筆者發現APOS理論非常適合我們當下的高中數學課堂教學實踐，現就該話題結合函數教學談幾點筆者的看法，望能有助于課堂教學實踐.

APOS：一種基于建構主義學習理論的教學模式

何為APOS？APOS教學理論起源于對皮亞杰的數學學習的“自反抽象”理論進行拓展的一種嘗試. APOS教學模式分為四個階段：（1）A—action（操作或活動）；（2）P—process（過程）；（3）O—object（對象）；（4）S—scheme（圖式）.

筆者對該教學理論的解讀為，前三個階段是學生學習的過程，最后圖式是學生構架的學習結果. 只要我們教師能夠科學地設置數學問題情境和直觀地呈現數學概念所在的知識背景，學生經過思維的操作、合作探究過程后，必然會對“對象”有較為深刻的認識，這三個階段都應該是學生在教師的引導下主動建構和反思的過程，由此為基礎，繼而完成圖式，理順所學概念在學科知識體系中的位置，同時應用知識順利地解決問題.

APOS理論指導下的“函數”概念教學

結合APOS理論，下面以函數概念教學為例，就如何有效實施操作、過程、對象和圖式4個階段進行分析.

第一階段：action階段

action階段即操作（或活動）階段，即將數學教學看成是“數學活動”的教學，在教學過程中，學生的操作運算行為是其數學認知發展進程中的 基礎性行為.課堂上，學生用數學家的思維投入數學問題探究中來，通過活動得到的實際經驗來建構知識，當然，數學的實踐性與理化學科的觀察性實驗有所區別，數學活動和操作更多的是學生的實際操作演算，或是思維性實驗，即動腦思考提取原有認知，通過操作、活動學生形成反省、被反省的基礎，對新的問題進行反省抽象推動概念學習本質化、直觀化. 從心理學角度看操作，學生對于感知到的對象，通過外部刺激對對象再進行轉換的過程. 如果缺失了學生的推演和思維性活動，數學學習是缺失思想方法的，那么，學生習得的“概念”也必然是無本之木.

我們在函數概念教學過程中，需要進行一系列的活動（或操作）.

活動1：給學生提供有現實背景的問題，引導學生從中建立一種函數關系y=2x；

活動2：要求學生計算出在一個給定點的函數值，如：1→2，2→4，3→6等等.

上述2個過程即action，通過上述活動，有助于學生真正地理解函數的意義.

第二階段：procoss階段

procoss階段是在學生不斷重復“活動或操作”的基礎上不斷反思，活動過程和成果不斷地刺激學生的大腦，繼而完成自身數學知識系統內部的心理建構，即完成“過程”體驗. 過程階段使得第一階段的操作有了自動呈現的機會和形式，與第一階段相比，該階段不再需要外因的不斷刺激.

在“函數”這個概念的學習過程中，一旦學生認識到“所謂函數只不過是給定一個不同的數就會得出相應的不同值，而不必再進行具體的運算”，其實此時他就已經完成從action階段向procoss階段的跨越，即完成過程模式的建構.

例如，學生把上文提到的2個活動可以綜合成函數過程，得到一般地有x→2x，由此不需要外部刺激，學生可以完成其他各種函數一般對應過程的概括，即x→f（x）.

這個階段，“概念”學習變得有操作性、相對直觀，而且思維過程容易遷移到數學學習的其他章節，仿效學習，提高自身的提取信息、分析信息和歸納總結的能力.

第三階段：object階段

該階段是與前面兩個階段構成一個整體的，通過前面兩個階段的探索，學生已經對“對象”有了一定的認識，并能夠將其作為一個具體的“實體”參與到其他數學問題的研究、轉化或其他概念操作過程之中. 經過該階段的學習，學生對“概念”有了深刻的認識，不僅能夠具體而明確地指出“概念”所具有的各種性質，同時將概念用于實施特定的數學演算之中.

例如“函數”的概念，一旦學生經過了object階段形成一個“實體”，那么，學生的認識會自然有所提升，看到函數“可復合”、“可微分、積分”，而且可以進一步通過這些數學演算、操作和過程，逐步地形成更高一級概念.

筆者認為作為“object階段”是學生學習過程中的轉折點，作為“對象”的概念，學生的既定性知識目標基本上達成，同時這個概念又作為與更高一級層次之間相聯系的樞紐，構建新概念的最近發展區，推動學生的認知有序向前推進.

第四階段：scheme階段

scheme階段：圖式階段，也常被稱為“概型階段”，是學生經歷了前面3個學習階段，將“對象”與自己頭腦中原有的與此相關聯的圖式（概念、知識）進行整合形成新的圖式的過程. 很顯然，在該階段，學生的思維和對概念的認識狀況超出了對“概念”本身的認識，上升到對學科更大的知識框架和更高的思維層次的認識. 該階段學生對“概念”進行更高層次的加工和表征.

例如，學生通過上述3個階段，對“函數概念”有了較為全面的理解，此時會將其與頭腦中原有的知識相綜合，形成一種綜合的心理圖式寄存在腦海之中，這種心理圖式是什么呢？筆者認為不僅僅是函數的概念，還應該包含完整的定義、具體的函數實例、函數抽象和定義的過程、函數概念與其他概念（如方程、曲線、圖象等）之間的聯系與區別等等，如此一來，“函數”這個概念才能在數學知識體系中有血、有肉、有骨頭，占有其特定的位置.

那么，該階段是不是孤立或突然出現的呢？筆者認為該階段與前面所講的“object階段”密不可分，數學對象、圖式的形成是一種漸進的建構過程.

在概念教學中，一個數學概念（如本文的例子“函數”）由第二個階段“過程”到第三個階段“對象”的建立，有時是既困難又漫長的，甚至會出現思維上的障礙或錯誤，需要學生經歷多次的嘗試和反復“操作”，才能完成，這個過程是循序漸進、螺旋上升的，缺失了這一過程學生對概念的理解便無從嘆氣，同時“對象”的建立，如何表征呢？筆者認為，在學生建構概念、描述對象的過程中，教師的主導性地位是不可缺失的，我們要關注學生對“對象”的表征，要提升學生注意概念文字表征的簡練度、符號表征的準確性和圖象表征的直觀性，即學生在頭腦中建立起多維度的，具有直觀結構的數學概念的形象. 筆者在數學教學中也發現，數學學習中圖式的形成往往并非是一種自覺的行為，而是一個不知不覺的漸進的建構過程. 在整個環節中，相應的操作為圖式的形成提供了必要的基礎. 經過提煉和拓展，圖式的形成要經歷三個階段：單個圖式、多個圖式、圖式的遷移. 單個圖式階段的特點就是只是注意離散的操作、過程和對象，而把具有類似性質的其他知識點隔離開來：多個圖式階段就是注意了各個圖式中蘊含的知識點之間的關系和銜接，這時個體就能把這些知識點組成一個整體；然后只有到了遷移階段，個體才能徹底搞清楚在上一個階段中提到的相關知識點之間的相互關系，并建構出這些知識點之間的內部結構，形成一個大的圖式.