探究錯(cuò)源 合理糾錯(cuò)

何棟國(guó) 徐德澤

摘 要：很多學(xué)生容易把對(duì)數(shù)的真數(shù)寫錯(cuò)，究其原因是對(duì)于真數(shù)的理解的偏差，由此反思我們平時(shí)糾錯(cuò)策略，如果缺乏權(quán)威性，學(xué)生便不足以信服；如果沒(méi)有巧妙的手段，就不能迅速及時(shí)糾正錯(cuò)誤；如果沒(méi)有實(shí)實(shí)在在的措施，學(xué)生不能自覺(jué)糾錯(cuò)到極致；如果沒(méi)有找對(duì)病因，便無(wú)法根除而出現(xiàn)反復(fù). 因此，糾錯(cuò)應(yīng)該從根上入手，從源頭治理，才見(jiàn)成效，效果才能持久.

關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)；基礎(chǔ)概念；糾錯(cuò)；策略

每年擔(dān)任畢業(yè)班教學(xué)時(shí)，都會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的一些不良的解題習(xí)慣，有些習(xí)慣容易改變，有些習(xí)慣卻很難改變，簡(jiǎn)直就是頑疾，比如對(duì)數(shù)的真數(shù)的書(shū)寫“錯(cuò)位”，前邊改了后邊又犯了，按了葫蘆起了瓢，很難改觀. 有時(shí)筆者就懷疑是不是基礎(chǔ)年級(jí)出了問(wèn)題，因此便在高一教授對(duì)數(shù)部分新課期間，每年都去聽(tīng)課調(diào)研. 不過(guò)令人高興的是大多數(shù)老師還是很注意對(duì)數(shù)的寫法，處理很規(guī)范. 但是為什么學(xué)生到了高三還是寫錯(cuò)呢？

初探對(duì)數(shù)真數(shù)的理解錯(cuò)位是書(shū)寫錯(cuò)位的原因

對(duì)數(shù)的真數(shù)是誰(shuí)？指數(shù)嗎？這些問(wèn)題很容易回答，而且都能正確回答. 但是我們的學(xué)生仍然在心里還是把真數(shù)默認(rèn)為和一個(gè)冪的指數(shù)具有一樣的地位，比如學(xué)生寫“l(fā)og25”，它寫出來(lái)的是“l(fā)og”，若寫“l(fā)n5”，則更是厲害地寫成“l(fā)n5”，簡(jiǎn)直就把5當(dāng)成“l(fā)n”的指數(shù)了. 按照這樣的思路推理下去，學(xué)生為什么總是習(xí)慣于把對(duì)數(shù)函數(shù)式，比如“l(fā)og2（x+1）”寫成“l(fā)og”就不難理解了，因?yàn)閷W(xué)生們從心底上就把真數(shù)當(dāng)成指數(shù)，而指數(shù)哪有加括號(hào)的？以后如果遇到諸如“函數(shù)f（x）=logx+2”時(shí)，學(xué)生再問(wèn)：“老師，老師，這個(gè)地方是不是缺一個(gè)括號(hào)呀？”這也就不要大驚小怪了.

案例1 下面是高三期初模擬卷上的一道求函數(shù)值的題目：已知函數(shù)f（x）=log3x+2的定義域?yàn)椋?，3]，則f（7）的值為_(kāi)_________.

本來(lái)以為這道題目不用評(píng)講，可是試卷改出來(lái)之后，發(fā)現(xiàn)根本就不是想象的那回事，錯(cuò)了一大片. 在展示課上，特地邀請(qǐng)幾位理直氣壯的學(xué)生，談?wù)勛约旱南敕ǎl(fā)現(xiàn)他們的解法是：f（7）=log37+2=log39=2，一看就明白，這是把函數(shù)f（x）=log3x+2直接理解為“f（x）=log3（x+2）”，甚至有人還埋怨老師的試卷印刷質(zhì)量有問(wèn)題，漏掉括號(hào)了或者說(shuō)2和x寫得太近了. 而實(shí)質(zhì)上，學(xué)生是因?yàn)闀?shū)寫錯(cuò)位，理解也錯(cuò)誤，比如本題，學(xué)生習(xí)慣于寫“f（x）=log”所致. 可見(jiàn)，對(duì)數(shù)的寫法真的需要規(guī)范，真的需要真正搞懂真數(shù)的意義，糾錯(cuò)要從根上治理.

高中階段糾錯(cuò)策略的新認(rèn)識(shí)

1. 糾錯(cuò)應(yīng)該有“強(qiáng)權(quán)威”

對(duì)充分條件的理解，大家往往都會(huì)從演義定義去理解，如子集意義，“推出”意義，特別是對(duì)于“推出”“p?q”的理解. 學(xué)生遇到“推出”通常會(huì)把它理解為像解不等式、解方程等，即把條件理解為不等式、方程，把結(jié)論理解為不等式或方程的解.

下面是一道讓學(xué)生糾結(jié)的題目：

案例2 “x-a>0”是“x≥a”成立的

（ ）

A. 充分非必要條件

B. 充分必要條件

C. 必要非充分條件

D. 非充分必要條件

錯(cuò)解：因?yàn)橛蓌>a不能得出x≥a，故不是充分條件；

而x≥a能得出x>a，故為必要條件.所以選C.

本題實(shí)質(zhì)上是對(duì)“p?q”的含義的理解，若直接講解具有一定困難，學(xué)生不易接受，筆者在教學(xué)時(shí)進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

教師：這道題你們?yōu)槭裁磿?huì)認(rèn)為正確答案是必要非充分條件？

學(xué)生：由“x-a>0”推不出“x≥a”.

教師：那么什么是“推出”呢？誰(shuí)來(lái)解釋一下“p?q”的含義？

學(xué)生：沉默……

教師：在遇到一個(gè)自己弄不懂的概念時(shí)，我們應(yīng)該做什么？

學(xué)生：請(qǐng)教老師，請(qǐng)教同學(xué).

教師：錯(cuò)，應(yīng)該請(qǐng)教教材，教材才是最權(quán)威的.

學(xué)生：（學(xué)生才想起來(lái)翻閱教材）若p，則q為真，記為“p?q”.

教師：你能用自己的話將其解釋得更通俗易懂嗎？

學(xué)生：若p真，則q為真.

教師：你能用“推出”的本意來(lái)解析題目的意思嗎？

學(xué)生：如果x∈（a，+∞），那么x∈[a，+∞），所以是充分條件；但是當(dāng)x=a時(shí)，a?（a，+∞），即x≥a不成，所以是不必要條件.

可見(jiàn)，有些錯(cuò)誤之所以總是改不了，或許是因?yàn)闆](méi)有認(rèn)真看書(shū)所致，對(duì)教材不熟悉，不清楚概念的原始定義，理解概念僅僅靠查看總結(jié)好的經(jīng)過(guò)演義加工的復(fù)習(xí)資料，這是當(dāng)前高三復(fù)習(xí)的通病，這些概念的糾錯(cuò)只有從本源出發(fā)，才更有說(shuō)服力.

2. 糾錯(cuò)應(yīng)該有“巧手段”

案例3 導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題往往出現(xiàn)兩個(gè)單調(diào)性相同的區(qū)間并列書(shū)寫的情形，學(xué)生常常錯(cuò)用 “∪”，

而且這種現(xiàn)象反反復(fù)，屢禁不止.筆者在處理這些問(wèn)題的時(shí)候，一般都會(huì)做出一些小規(guī)則，用這些規(guī)則約束學(xué)生自覺(jué)回避“∪”. 我們?cè)賮?lái)看下面一道練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=x3-3x2-3x+2，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間__________.

故函數(shù)在（-∞，1-），（1+，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1-，1+）內(nèi)單調(diào)遞減.

我們?cè)谇髥握{(diào)區(qū)間的時(shí)候，都會(huì)涉及解不等式. 在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生求不等式f ′（x）>0的解集最喜歡把解集直接寫成區(qū)間的形式，如f ′（x）>0，解得（-∞，1-）∪（1+，+∞），但是這樣一來(lái)，在書(shū)寫函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的時(shí)候，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生一種困惑，為什么前面可以寫成“∪”而書(shū)寫單調(diào)區(qū)間卻不能？雖然這個(gè)問(wèn)題很幼稚，但是我們還是要想出一種方法，讓他們問(wèn)不出來(lái). 因此，筆者建議學(xué)生在解不等式f ′（x）>0時(shí)，其解集最好寫成不等式的形式，暫時(shí)不要改寫成區(qū)間，減少“∪”的使用率.

再如下面這道典型易錯(cuò)題：若等比數(shù)列公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q=________.

這道題最容易忘記對(duì)公比分q≠1及q=1來(lái)討論，致使產(chǎn)生了增解q=1. 不過(guò)本題如果分類討論，過(guò)程也很冗長(zhǎng). 筆者的建議是采用整體的思想，從Sn的本義出發(fā)，即Sn=a1+a2+…+an. 比如2Sn=Sn+2+Sn+1相當(dāng)于2Sn=（Sn+an+1+an+2）+（Sn+an+1），容易得到2an+1+an+2=0，所以q=-2.

3. 糾錯(cuò)應(yīng)該有“實(shí)措施”

案例4 大家知道，利用均值不等式求最值最容易出現(xiàn)的一種錯(cuò)誤，就是辛辛苦苦求出來(lái)的結(jié)果卻不是真正的最值. 像這樣的錯(cuò)誤，每次都在分析錯(cuò)因，學(xué)生也搞得很明白，但是總免不了出錯(cuò). 下面是一道典型的易錯(cuò)題：若正數(shù)x，y滿足x+2y=1，則+的最小值是__________.

錯(cuò)解：1=x+2y≥2，得≥2，+≥2=≥4，最小值是4.

上述解法中兩次使用了均值不等式，但x+2y≥2取等號(hào)的條件是x=2y，+≥2取等號(hào)的條件是x=y，因此，+≥2=≥4前后兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立條件是x=2y且x=y，即x=y= 0，而x，y是正數(shù)，因此只能是+>4，4不是它的最小值. 那么如何才能自覺(jué)避免類似錯(cuò)誤呢？筆者的建議是，對(duì)于今后使用基本不等式求最值時(shí)，一定要書(shū)寫 “當(dāng)且僅當(dāng)”，雖然這有些形式主義，但這種形式是必要的，因?yàn)樗前押檬д`的最后一道關(guān)口. 也就是說(shuō)，注意書(shū)寫規(guī)范不僅僅是形式，更是對(duì)自己負(fù)責(zé)的表現(xiàn).

再如，下面這道易錯(cuò)題：

，實(shí)際上只要養(yǎng)成畫函數(shù)圖象求值域，就一定可以避免類似錯(cuò)誤. 畫函數(shù)圖象求函數(shù)值域，尤其是三角函數(shù)這樣的單調(diào)性變化多端函數(shù)，可以清清楚楚地看出函數(shù)的值域，而不至于多一塊，少一塊.在教學(xué)中，如果已知正弦值，如sinA=，求三角形內(nèi)角A，錯(cuò)求得而忘記的現(xiàn)象也是時(shí)常發(fā)生的. 如果這種錯(cuò)誤被糾正過(guò)來(lái)后，反而有很多學(xué)生更加糊涂了，學(xué)生們會(huì)疑惑地質(zhì)問(wèn)自己，如果cosA=，那么為什么角A沒(méi)有兩個(gè)值？所有這些，其實(shí)都是由沒(méi)有畫圖觀察的習(xí)慣造成的.