高中數學延伸拓展教學的多維研究思路

劉洪志

摘 要：高中數學教學的重要目的是提升學生的數學素養，基于教材及傳統的教學習慣，可以幫學生積累數學知識、提升數學能力. 而在此基礎上進行的延伸拓展，能夠更為有效地讓學生弄清數學概念、規律以及問題解決背后更為本質的內容. 因此，高中數學教學中的延伸拓展研究，需要從多個維度來進行. 實踐表明，數學概念、規律構建、數學問題解決，尤其是學生在數學學習之后的學習反思，是有效地進行延伸拓展的重要維度.

關鍵詞：延伸拓展；教學思路；研究維度

延伸拓展是高中數學教學的重要思路，也是促進學生數學能力提升的重要途徑. 《普通高中數學課程標準》（實驗稿）給出的意圖很明顯，高中數學教學必須結合教學內容與教學對象的具體情況，通過延伸拓展的辦法，讓學生就某個數學問題進行更為深入細致的研究，以進一步豐富數學問題解決的體驗過程，進而培養數學知識建構與問題解決的能力.

有研究者指出，所謂延伸拓展，就是從學生的原有知識結構、認知水平出發，通過問題解決或者課題研究的方式對原有學習內容進行拓展，并在此過程中深化學生的數學知識的認識，同時深化教師對數學教學的認識的過程. 在實際教學中，延伸拓展以不同形式存在著，甚至在課程改革之前，延伸拓展實際上也就已經存在著，只不過沒有冠之以延伸拓展之名而已. 目前面臨的主要挑戰是，延伸拓展在實際的高中數學教學中還沒有真正走出常規思維中的習題變式尤其是難度遞增的變式思路，也就是說對延伸拓展的材料的研究還有進一步研究的空間. 筆者將延伸拓展材料的研究稱之為高中數學教學的培元固本的工作，并從多個維度對之展開了系列研究.

[?] 概念構建，基于內涵外延實現延伸拓展

數學概念是數學知識建構的基石，數學概念的教學具有理論上的重要性與實踐上的次要性的矛盾. 應試狀態下的高中數學概念教學，常常在新知授課習題化的思想下變成一個速成的過程. 顯然，這是不利于學生有效地建構數學概念理解的，筆者以為，高中數學教學中的概念教學非但不能壓縮，還應當在原有教學過程的基礎上進行拓展延伸，而其方向不外乎內涵和外延兩個角度. 現以“函數的奇偶性”教學為例，談談筆者的延伸拓展研究思路.

奇偶是學生在義務教育階段就已經習得的概念，當奇偶與函數結合起來并以之描述函數的性質出現時，教師首先要關注的就是學生對函數的奇偶性這一概念的理解. 從數學概念構建的角度來看，蘇教版高中數學教材（必修1）中對函數的奇偶性是這樣定義的：一般地，設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱y=f（x）是偶函數；如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱y=f（x）是奇函數. 從定義本身可以看出函數奇偶性的內涵，即關鍵在于對于某一定義域之內如果滿足自變量與應變量的對應的正負關系，那就存在著奇偶性.

學生在理解函數奇偶性這一概念的時候會有什么樣的心理過程？這是筆者關注的內容，研究發現，相當一部分學生在理解的時候首先就是關注為什么要用“奇偶”來形容（前面的單調性學習也是如此），此處的奇偶與有理數中的奇偶是一回事嗎？有意思的是，當這個問題出現在部分高中數學教師同行面前時，所獲得的理解也是不同的. 但實際上這個問題教材是給出了回答的，在本內容引入的時候，教材給出了這樣的描述：在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱的現象：美麗的蝴蝶，盛開的花朵……而在給出了函數奇偶性定義之后，教材又強調：根據函數奇偶性的定義可知，偶函數的圖象關于y軸對稱，奇函數的圖象關于原點對稱. 而實際教學中，教師常常是忽視這種前后對應關系的，因而也就不能將函數奇偶性的概念進行有效的延伸拓展；反之，看到了這種對應關系，學生對函數奇偶性概念的理解就可以既有內涵，也有外延，從而可以完善這種概念理解，學生會認識到此處的奇偶并非是指能否被2整除，而是與對稱相關的描述.

類似于此的概念教學中的延伸拓展，對于學生理解數學概念的最大價值在于，學生可以對數學概念產生一個完整的理解，即不僅知道函數的奇偶性是什么意思，更知道為什么會以這樣的詞語來描述這種特征，而這恰恰是數學概念最為本質的地方. 又如單調性，正如有學生所說的那樣：當函數圖象在某定義域內只呈現一種變化形態的時候，確實是夠單調的.

需要指出的是，數學規律的學習中同樣也存在著必要的延伸拓展的問題，考慮到其與概念建構的原理類似，這里不多贅述.

問題解決，基于發散思維實現延伸拓展

在高中數學教學中，問題解決是一個重要的任務，某種程度上講還是關系到接受高考評價的最為核心的任務. 由于應試的存在，高中數學教學中的問題解決常常是聚合性的，也就是學生的思路常常是指向最終的唯一答案的. 這種聚合性往往是延伸拓展的大敵，從學生數學素養提升的角度來看，在日常教學中基于發散思維去培養學生的問題解決能力，也應當是高中數學教師的應然任務. 且這樣的教學并不會對學生的應試能力有任何的影響，其需要的只是教師在傳統的應試教學思路中付出基于延伸拓展需要而進行的發散性思維訓練的勇氣而已.

同樣來看一個例子（考慮到現實需要，這里呈現的問題仍然是一般意義上的數學習題，而非與生活關系更為密切的、可以用數學模型來解決的現實問題，前者是后者抽象的結果）. 這則例子來源于蘇教版高中數學必修2中的一個例題：判斷圓（x+2）2+（y-2）2=1與圓（x-2）2+（y-5）2=16的位置關系. 一般情況下，本問題解決的思路是求出兩個圓的圓心，然后再求出圓心距；將之與兩圓半徑之和進行比較，即可得到結果. 如果這樣，那本題就是一道簡單的命題，除了鞏固學生的新知之外，沒有其他價值.

但若從延伸拓展的角度來看，本題實際上是可以進行思維的發散性訓練的，在這種發散性訓練中，還可以讓學生對已有的數學知識進行更有效的整合. 比如說我們可以向學生追問這樣的幾個問題：本問題解決的思路是什么？經由學生思考，可以梳理出是基于圓心距之和與半徑之和的比較；有沒有其他的解題思路？思維發散的基本提問方式；兩個圓的方程可否轉換為方程組？如果求解，其得到的解又有什么數學意義？

還有研究者更精辟地指出，如果在此時超越本題，而向學生提出問題：如果將兩個圓的方程相減，那將會得到什么？（這是一個高中學生能夠解決的問題，但又不是教材上出現的問題；至于兩圓相加得到的圓系方程，有興趣的同行不妨研究）得到的這個直線方程與兩圓又是什么樣的關系？

這樣的延伸拓展，可以將學生的視線延伸到原來的問題之外，也可以讓學生認識到即使最為簡單的數學問題，也都可以進行有價值的延伸. 當然，有價值的延伸并不一定需要延伸，但這樣的意識形成，實際上有助于學生將來遇到更為復雜的數學問題時，可以以一種更理性的心態去面對，以一種更冷靜的心態去將難題逐步分解成相對簡單的問題. 這是實實在在的問題解決能力的體現.

學習反思，基于思維規律實現延伸拓展

高中數學學習能力的一個重要體現，就是學生的反思能力. 相對數學知識的構建而言，反思能力更加直接地指向學生的學習品質. 學習后的反思過程，原本就是學習過程的延伸，如果在延伸的過程中再加以拓展，那學生的數學學習品質就有可能得到真正的提高，而學習后的反思也正是當前高中數學教學中比較薄弱的一環.

筆者在實踐中嘗試在學生學習之后引導反思，從環節分類來看，也是從數學概念建構、數學規律內化、數學問題解決能力的提高等維度來進行的. 從現實角度來看，在問題解決的過程中引導學生進行學習反思，是比較重要的選擇.

例如，在函數概念與基本初等函數中學習到的分段函數，教材上給出的數學問題是源于實際生活中出租車收費標準的問題：某市出租汽車收費標準如下：在3km以內（含3km）路程按起步價7元收費，超過3km以外的路程按2.4元/km收費. 試寫出收費額關于路程的函數解析式.

這一問題的解決有兩個過程：一是生活事實向數學表達的抽象，這一步并不復雜；二是分段函數的得出. 有學生在解題過程中會寫出y=7（03）的表達式.而在教師給出y=7（0

2.4（x-3）+7（x>3）之后，有學生認為兩者并無本質區別. 于是，數學形式與數學本質之間的關系就成為可以延伸拓展的重要研究命題之一. 從教師的角度來講，教師必須知道數學內容與數學形式之間的關系，而對于學生的學習而言，需要讓學生知道的則是每一個數學內容都應當有對應的數學形式，數學形式背后是數學邏輯關系的體現. 只有認識到這一點，基于分段函數的延伸拓展教學，才有了純粹的數學意義.

因此，數學學習后的反思尤其是從某一個知識點向數學本質的延伸拓展，應當成為高中數學教師的教學自覺.